JAVIER GOMEZ LOPEZ

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EL PROBLEMA DE BASILEA

Un poco de historia

Basilea es una ciudad suiza situada donde convergen las fronteras francesa y alemana con la suiza. Es además el lugar natal de Euler (1707 – 1783) y de la familia Bernoulli (de hecho Johann Bernoulli fue profesor de Euler en la universidad). Esta localidad da nombre a nuestro artículo: El problema de Basilea consiste en hallar la suma de la serie:

\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} \quad \dfrac{1}{n^{2}}

El primero en intentarlo fue John Wallis en Arithmetica Infinitorum (1655) donde aproximó la serie con un error del orden de 10^{-3}. A éste lo siguió Leibniz sin éxito. Le sucedió Jacob Bernoulli quien demostró su convergencia (hasta entonces nadie se había parado a cuestionarse la convergencia de la serie, esa característica era algo secundario, siendo más importantes los resultados en sí). Así, de matemático en matemático, llegamos a 1730 cuando el problema aterriza en las manos de Euler.
Euler publicó varios artículos en los que daba distintas demostraciones del resultado exacto de la suma:

\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} \quad \dfrac{1}{n^{2}} = \dfrac{\pi^{2}}{6}

Basilea

Basilea

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CURVAS GEODÉSICAS

Una breve introducción a las curvas geodésicas

Para inaugurar este 2016 mi primera aportación está relacionada con el último post publicado en este blog, aunque el enfoque desde el que voy a partir será un poco menos divulgativo y un tanto más riguroso.Se considerará que el lector posee una base en topología, geometría diferencial (para algunos topología diferencial), y álgebra (sobre todo en cuanto a tensores). Desempolvados los apuntes, demos paso al artículo.

Una conexión afín, en una variedad M es una aplicación que asigna a cada par de campos de vectores X, Y otro vector, denotado por \nabla _X Y cumpliendo las siguientes propiedades:

  • \nabla_{fX+gY}Z=f\nabla_X Z+g\nabla_Y Z
  • \nabla_X (Y+Z)=\nabla_X Y +g\nabla_X Z
  • \nabla_X (fY)=f\nabla_X Y+x(f)Y

Donde f y g son funciones f,g:M\rightarrow \mathbb{R}

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RELATIVIDAD GENERAL- GEOMETRÍAS NO EUCLÍDEAS: DE NEWTON A KANT

La Relatividad General alcanza 100 años en plena forma.

¿Cómo surgen las geometrías no euclídeas?

En matemáticas a menudo acostumbramos a definir un objeto definiendo lo que no es y en este artículo no iba a ser menos. Para los menos iniciados en la materia empezaremos por enunciar las geometrías no euclídeas como aquéllas (valga la redundancia) que no son euclídeas (o euclidianas), esto es, toda geometría que difiere en cuanto a las propiedades (axiomas y postulados) establecidos por Euclides hace ya algún tiempo.

Euclides el "padre de la geometría"

Euclides el “padre de la geometría”

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GEOMETRIA FRACTAL: MATEMATICAS DE LA NATURALEZA

GEOMETRIA FRACTAL, DEL MICROSCOPIO A CONTINENTES

Cuando pensamos en geometría nos acordamos de todas esas formas que hemos visto en libros de texto: conos, esferas, triángulos, cuadrados… Pero, en la realidad, ¿cuántas veces hemos encontrado de forma natural un objeto con esa forma? ¿Montañas perfectamente cónicas? ¿Piedras perfectamente esféricas? Sin embargo encontramos otras peculiaridades en diversos elementos de la naturaleza. Figuras que se repiten continuamente como el dibujo que observamos en la superficie de un brécol, un copo de nieve a vista de microscopio, o la red de venas y arterias de un ser humano. Todos estos elementos de la naturaleza y muchos más obedecen a una estructura que matemáticamente conocemos como “fractal”. La geometría fractal se encarga, precisamente, del estudio de dichos elementos.

Geometría fractal en brotes de brécol

Geometría fractal en brotes de brécol

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EL PENDULO DE FOUCAULT: CUANDO TODO GIRA CON UN ORDEN

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El péndulo de Foucault: ¿Giramos?

Desde pequeños nos han enseñado que estamos en constante movimiento: la Tierra, ese planeta casi esférico, gira en torno a un eje que pasa por los polos y completa una vuelta cada 24 horas; además, giramos alrededor de una estrella enorme que conocemos como Sol a una velocidad media de 107000 km/h y, a su vez, el sistema solar completo gira en torno al centro de la galaxia.

Sin embargo todos estos datos parecen poco creíbles cuando el ser humano observa el cielo desde su posición y parece que todo gira alrededor de nosotros. Los más escépticos dirán que todo depende del punto de vista. Por si alguien alberga alguna duda el físico francés Jean Bernard Léon Foucault (1819 – 1868) demostró en 1851, mediante un experimento en el Panteón de París, que efectivamente la Tierra está en movimiento.

foucault

Péndulo de Focault: ¡claro que nos movemos!

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