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17 abr 2016

Un cambio de coordenadas para explicar el mundo 1 de 2

Series de Fourier: una herramienta clave en el análisis de señales.

Seguramente usted es consciente de que la información, en gran medida, se encuentra digitalizada, independientemente de cuál sea su naturaleza. No importa si hablamos de sonido, de potenciales eléctricos –como los recogidos en un electroencefalograma o en un electrocardiograma-, fuerzas, presiones, temperaturas, valores de la bolsa, imágenes, vídeos, lo que sea: todo se digitaliza.

Series de Fourier y análisis de señales

Usando un electroencefalograma para comprender nuestra actividad cerebral

Esto significa que, aunque estemos enfrentándonos a un proceso que depende continuamente del tiempo, como las diferencias de presión atmosférica que producen los sonidos, nosotros siempre tomamos muestras de dicha magnitud, generando un vector (o a veces una matriz, como en el caso de las imágenes y los vídeos digitales) x=(x(0), x(T),x(2T),…,x(NT)) . Este proceso se denomina discretización.  Además, cada uno de los valores registrados, x(kT), sólo podremos representarlo de forma finita. Es decir, lo tomaremos entre un conjunto finito de posibles valores (o niveles), previamente fijado. Este otro proceso se llama cuantización.  Por ejemplo, cada uno de los píxeles en una imagen de niveles de gris, se suele tomar entre el conjunto (¡extraordinariamente limitado!) de los números enteros que hay entre 0 (negro) y 255 (blanco). Es este vector (o esta matriz de valores) el que posteriormente utilizaremos, sea cual sea el objetivo que tengamos en mente. Es decir: una vez hemos digitalizado la información, nos olvidamos completamente de la señal analógica original.

Pero esto, ¿por qué podemos hacerlo? ¿cómo es posible que podamos obviar toda la información que contiene la señal original entre cada par de muestras consecutivas, como si realmente allí no hubiera nada? Y encima, luego ¡cuantizamos los datos, restringiendo nuestra atención a unos pocos valores! ¿es esto razonable? ¿es un límite causado por la tecnología?

Lo cierto es que no podríamos actuar de otro modo, en ningún caso, porque todos los aparatos de medida que existen –y, lo que es más, todos los que puedan existir jamás- están sometidos a dos limitaciones fundamentales: cada medida requiere un cierto tiempo y, además, sólo se puede realizar con un determinado nivel de precisión. La primera limitación nos obliga a discretizar la información, la segunda provoca que la información registrada esté siempre sometida a errores de redondeo o cuantización. El mundo físico no es suave y continuo, como el mundo ideal descrito por el análisis matemático clásico.

Sin embargo, hay que decir que estamos de suerte. Después de todo, somos afortunados. Estas limitaciones no nos afectan demasiado. Podemos convivir con ellas. Podemos usar la tecnología. Incluso podemos fiarnos de ella en situaciones de verdadero riesgo, en situaciones dramáticas en las que nuestra propia vida está en juego. Podemos fiarnos de los diagnósticos realizados por nuestro cardiólogo, podemos confiar en los electroencefalogramas. Podemos someternos a complejas operaciones quirúrgicas en las que intervienen distintos aparatos de medida.  Además, parte de la magia de la vida, como el cine (¿a quién no le gusta el cine?) o la música, la podemos disfrutar sin perjuicio de que la información se transmita sólo a partir de muestras, eso sí, con la velocidad adecuada… Incluso existen trucos de magia basados en nuestras limitaciones fisiológicas a la hora de procesar la información que llega a nuestros sentidos.

Hay varias razones de peso que nos permiten estar tranquilos. Por un lado, nosotros mismos somos un sistema físico que recoge la información de forma discreta y cuantizada. ¡Nuestros sentidos son también aparatos de medida sometidos a las mismas limitaciones físicas de las que acabamos de hablar! Por otro lado, existe un teorema, con una demostración perfecta, maravillosa, y con una motivación física también maravillosa, que nos dice que todas las señales que puedan representar algo importante para nosotros son susceptibles de ser discretizadas sin que por ello se pierda información alguna. Es el teorema del muestreo de Shannon, Whitaker y Kotelnikov, del que luego hablaré con cierto detalle. Dicho teorema nos garantiza que podemos hacer un viaje de ida y vuelta, desde el mundo analógico, continuo, suave, de las señales físicas –idealizadas por el análisis matemático clásico, que ve el paso del tiempo como un continuo sin saltos, ilimitado e infinito, una variable que podemos dividir sin límites- al mundo, mucho menos suave, lleno de discontinuidades, de las señales discretas. El viaje de ida se hace por el simple mecanismo de tomar muestras, de medir la señal analógica en diferentes instantes temporales, con algún sistema físico que lo permita. El viaje de vuelta se hace mediante la síntesis de la señal original, a partir de sus muestras, basada en un cierto algoritmo –del cual daremos los detalles dentro de poco. La idea es que, mediante cierta fórmula, podemos recuperar la señal original en cualquier instante temporal que elijamos –posiblemente distinto de los valores donde hemos tomado nuestras muestras.  ¡Podemos recuperar la señal con toda la precisión que deseemos, en todo instante!

En efecto, la recuperación o síntesis de una señal analógica x(t) de energía finita cuya transformada de Fourier se anula fuera de [\frac{-b}{2\pi},\frac{b}{2\pi}], se realiza mediante la fórmula:

\sum_{k=-\infty}^\infty x(k\pi/b)\frac{sin(bt-k\pi)}{bt-k\pi}

Es decir, si W=\frac{b}{2\pi} es el ancho de banda de la señal, entonces podemos recuperarla a partir de muestras equiespaciadas cuando el muestreo se realiza con la frecuencia , que es la llamada frecuencia de Nyquist (en honor al físico e ingeniero H. Nyquist, quien formuló este principio en forma de conjetura en un artículo de 1928). La demostración de este resultado se basa en las propiedades de las series de Fourier y de la transformada de Fourier de las señales de energía finita (se puede consultar, por ejemplo, en mis libros [1], [2]).

Ahora quiero explicar un problema adicional que es la verdadera motivación de esta breve nota. Se trata de otro viaje, también de ida y vuelta, en el que con muchísima frecuencia, estamos interesados. Si miramos la señal registrada por cualquiera de los electrodos colocados en el cuero cabelludo, en un electroencefalograma, veremos una curva muy extraña, que oscila arriba y abajo con gran velocidad y, aparentemente, sin seguir un patrón bien definido. Esa curva es importante porque nos muestra información sobre las variaciones de potencial eléctrico generado por nuestras neuronas, fundamentalmente en el entorno inmediato del electrodo (aunque, como sucede con un micrófono que graba sonido en una habitación, también se registra información que llega de lejos). Nos interesa interpretar esta señal porque podría contener información relevante sobre la actividad del encéfalo, cuando éste se ha sometido a un determinado tipo de estímulo. Y ese potencial no es azaroso. No proviene de la acción de una única neurona o de un grupo reducido de neuronas –los potenciales de acción de las neuronas individuales son excepcionalmente débiles y no pueden ser recogidos por un   sensor colocado en el exterior del cráneo, sobre nuestro cuero cabelludo-. Es el potencial que resulta de la suma sincronizada de la acción de grupos muy amplios de neuronas y, por tanto, podría contener en efecto información significativa sobre el modo en el que el encéfalo está respondiendo a determinado tipo de estímulos: es información útil desde el punto de vista neurocognitivo. Fenomenal. Sin embargo, se trata de una curva que oscila aparentemente sin seguir patrón alguno… Eso es si la miramos en el mundo del tiempo. Algo mágico sucede cuando cambiamos el punto de vista con el que miramos estas señales. Si las miramos como superposición de armónicos puros, de ondas que oscilan con una frecuencia determinada, todo cambia. De pronto, la información se simplifica enormemente. Ahora aparecen ciertas zonas del llamado espectro de la señal que, obviamente, tienen un papel fundamental en su descripción en frecuencias.

Vayamos poco a poco… Si concentramos nuestra atención en la señales periódicas (es decir, en aquellas funciones  x(t) con la propiedad de que se repiten cada cierto tiempo, verificándose la igualdad x(t+P)=x(t)  para todo valor de  y cierto valor fijo P  al que llamamos periodo de la función), sucede que  independientemente de su forma, “todas”  se pueden representar como superposición de ciertas señales básicas, llamadas armónicos elementales. Hemos escrito  entre comillas la palabra “todas” porque en realidad existen excepciones pero todas las señales periódicas que nos puedan interesar en las aplicaciones físicas satisfacen esta afirmación.

Concretando, si tenemos una función  P-periódica x(t)  mínimamente regular entonces esta función se puede describir como una suma (posiblemente infinita) de armónicos puros. Es decir, para ciertos coeficientes ,a_k, b_k , que dependen exclusivamente de x(t)  y que reciben el nombre de coeficientes de Fourier de la función,  se satisface la siguiente fórmula

x(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty (a_k cos\frac{2\pi kt}{P}+b_k sin\frac{2\pi kt}{P})

que recibe el nombre de ecuación de Fourier, en honor al matemático francés J. B. J. Fourier –que la introdujo en 1807 y cuyo estudio formaba una parte esencial del desarrollo de su famosa monografía dedicada a la Teoría Analítica del calor, de 1821.

En el miembro de la izquierda de la ecuación de Fourier tenemos la función x(t) que depende del tiempo -pensemos que t representa el paso del tiempo y que x(t) es la magnitud de la señal física que medimos en el instante de tiempo t mientras que en el segundo miembro, el miembro de la derecha de la ecuación, aparecen ciertas funciones fijas (los senos y cosenos) que se superponen (es decir, se suman) y se promedian (es decir, se multiplican por ciertos números).

¿Qué puede significar que estas funciones estén fijas? Ellas no dependen de la forma de la señal x(t): usamos las mismas funciones cos\frac{2\pi kt}{P}, sin\frac{2\pi kt}{P}, para toda la función periódica, x(t) con periodo P>0. Si pintamos una de estas funciones, veremos que se trata de una onda que oscila de forma regular, repitiendo el mismo trazado k veces en cada intervalo de longitud P. Es decir, k nos da la frecuencia con la que la esta función oscila en cada intervalo periodo. Los coeficientes a_k, b_k nos dicen cuánta energía aporta esta vibración fundamental a nuestra señal x(t).  Así, son los coeficientes los que determinan completamente a x(t) y, además, su significado se debe interpretar en términos de frecuencias. A un lado de la ecuación tenemos una descripción de la señal en función del tiempo y al otro lado, recuperamos la misma señal, vista desde un universo diferente: el mundo de las frecuencias. Lo más importante en esto es que podemos viajar de un lado al otro sin perder información. Este fue el maravilloso descubrimiento de Fourier, que daría lugar a importantes cambios no sólo en el análisis matemático sino también en física,  ingeniería, y numerosos campos de aplicación, incluyendo la medicina.

Dada la función P-periódica x(t) sus coeficientes de Fourier se pueden calcular explícitamente gracias a las fórmulas de Fourier:

a_k=\frac{1}{P}\int_0^T x(t)cos\frac{2\pi kt}{P}

b_k=\frac{1}{P}\int_0^T x(t) sin\frac{2\pi kt}{P}

En particular, éstos pueden obtenerse tan pronto como la función que estamos analizando sea integrable en [0,P].

Las condiciones que garantizan la convergencia de las series de Fourier son extraordinariamente débiles. El primer resultado que se demostró rigurosamente en esta dirección fue publicado en 1829 y  se debe a Dirichlet. Demostró que si  la señal que estamos analizando es continua a trozos, derivable a trozos y con derivada continua a trozos, entonces su serie de Fourier converge a la propia señal uniformemente sobre compactos contenidos en la zona de continuidad de ésta y, en los puntos de discontinuidad, converge al punto medio del salto.  Por supuesto, estos resultados se fueron refinando con el tiempo, y dieron lugar a una importante rama del análisis matemático que no ha parado de crecer y producir nuevas ideas y que ha sido fundamental en numerosas aplicaciones de la matemática. En la siguiente entrada estudiaré a partir de la idea original de los coeficientes de Fourier la célebre transformada que el matemático francés introdujo en su Teoría Analítica del Calor.

Autor:  José María Almira Picazo

BIBLIOGRAFÍA       

[1] J. M. Almira,Matemáticas para la recuperación de señales: una introducción”, Grupo Editorial Universitario, 2005.

[2] J. M. Almira,Neuromatemáticas. El lenguaje eléctrico del cerebro”, de la colección: “¿Qué sabemos de…?”, Editorial del C.S.I.C. y Libros de la Catarata, 2016.

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