ENTRADAS

19 abr 2016

Un cambio de coordenadas para explicar el mundo 2 de 2

Transformada de Fourier: una herramienta clave en el análisis de señales

En el artículo anterior analicé cómo, independientemente de su forma, “todas” (con matices) las señales periódicas se pueden representar como superposición de ciertas señales básicas, llamadas armónicos elementales. Así, una función  P-periódica x(t)  mínimamente regular comentamos que se podía describir como una suma (posiblemente infinita) de armónicos puros a partir de la conocida ecuación de Fourier.

transformada de Fourier

La transformada de Fourier en la interpretación de señales neuronales amplificadas

Una de las ramificaciones que surgieron a partir de la idea original de los coeficientes de Fourier es la llamada transformada de Fourier, también introducida por el matemático francés en su Teoría Analítica del Calor. Fourier estaba interesado en aplicar sus métodos no sólo para el estudio de la distribución del calor en una barra metálica finita, que fue el primer caso importante y que conducía de forma natural a las series de Fourier, sino también en otros sólidos, de diversas formas y tamaños. Un caso particular que le causaba dificultades era cuando el sólido era infinito. Aquí desaparecía la hipótesis de periodicidad de las funciones implicadas. Era necesario introducir algo similar a las “frecuencias” para funciones más generales, definidas en toda la recta real y no periódicas. Fourier encontró una solución razonable mediante el uso de una idea aparentemente sencilla. Dada una función cualquiera, la consideraba restringida a un intervalo finito [-P/2, P/2] y, sobre dicho intervalo, la representaba con una serie de Fourier, como si se tratara de una función de periodo P>0. Luego hacía que el periodo creciera indefinidamente y tomaba límites. Es así como apareció por primera vez la transformada de Fourier:

F(f)(u)=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-2\pi itu}dt

que sirve para representar en frecuencias una amplia clase de señales no-periódicas: las señales de energía finita. Fourier demostró que también en este caso el camino es de ida y vuelta, pues el operador

F^{-1}(f)(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(u)e^{2\pi itu}du

actúa como inverso del operador F. Hay que pensar en este resultado como un teorema sobre sumabilidad, parecido a los que garantizan que la serie de Fourier de una función periódica converge a dicha función.

Es importante observar que los coeficientes de Fourier de la función P – periódica x(t) se calculan directamente realizando el producto escalar de dicha función con las funciones básicas cos\frac{2\pi kt}{T} y sin\frac{2\pi kt}{T}, pues

a_k=\frac{<f, cos\frac{2\pi kt}{P}>}{<cos\frac{2\pi kt}{P}, cos\frac{2\pi kt}{P} >}

b_k=\frac{<f, sin\frac{2\pi kt}{P}>}{<sin\frac{2\pi kt}{P}, sin\frac{2\pi kt}{P} >}

donde el producto escalar viene definido por

<f,g>=\int_0^\infty f(t)g(t)dt

Además, si tenemos en cuenta que e^{i\theta}=cos\theta +i sin(\theta) , por tanto,

cos\theta =\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}, sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2}, resulta que la serie de Fourier de f admite una representación del tipo

f(t)=\sum_{k=-\infty}^\infty c_k e^{\frac{2\pi ikt}{T}}

, donde los coeficientes de Fourier complejos c_k están dados por:

c_k=\frac{<f, e^{\frac{2\pi kt}{T}}>}{<e^{\frac{2\pi kt}{T}},e^{\frac{2\pi kt}{T}}>}=a_k-ib_k

En general, si H es un espacio de Hilbert y \{\varphi_k\}_{k=0}^\infty es una familia de elementos (no nulos) de H que genera un subespacio denso y que satisface las condiciones de ortogonalidad <\varphi_n, \varphi_m> cuando n\neq m, entonces se puede demostrar que todo elemento x\in H admite una expresión del tipo x=\sum_{k=0}^\infty \frac{<x,\varphi_k>}{<\varphi_i,\varphi_k>} \varphi_k, siendo la convergencia en  el sentido de la norma de H. Este resultado generaliza, evidentemente, las series de Fourier a un contexto mucho más amplio, y ha sido utilizado de forma muy intensa en diferentes ramas de la matemática y de la física.  Los coeficientes de Fourier del vector x respecto de la base ortogonal   son, entonces, los números c_k=\frac{<x, \varphi_k>}{<\varphi_k, \varphi_k>}, k=0,1,2,\cdots, y conocer dichos coeficientes nos permite una recuperación completa del vector gracias a la fórmula anterior.

Un caso extremo, en el que la cuestión de la convergencia de las series de Fourier generalizadas se vuelve trivial, es cuando nuestro espacio de Hilbert tiene dimensión finita. Concretamente, podemos asumir que nuestro espacio es H=\mathbb{C}^N con el producto escalar usual, <x,y>=\sum_{k=0}^{N-1}x_k\bar{y}_k. En este contexto hay dos bases ortogonales que son especialmente importantes. La primera es la base canónica, formada por los vectores e_k=(0,\cdots, 0,1,0,\cdots,0) (donde el 1 aparece en la posición (k+1)-ésima del vector). Cuando escribimos x=(x_0,x_1,\cdots, x_{N-1}) lo que estamos diciendo es que x=\sum_{k=0}^{N-1}x_k e_k. Es decir, esta base nos proporciona de forma natural la representación de la señal x en el dominio del tiempo (la posición k-ésima es sencillamente el valor de la señal en el instante k y se suele denotar, indistintamente, por x_k o x(k)). La segunda base fundamental, es, evidentemente, la que nos describe estas señales en términos de frecuencias. Se trata de la base formada por los vectores E_k=\sum_{k=0}^{N-1}e^{\frac{2\pi ikn}{N}}e_n; es decir, la componente  n-ésima de E_k es el número complejo e^{\frac{2\pi ikn}{N}}  para n=0,1,\cdots, N-1. Que estos vectores forman un sistema ortogonal en \mathbb{C}^N es una sencilla cuenta, que se basa en la conocida fórmula 1+x+\cdots +x^{N-1}=\frac{x^N-1}{x-1}, la cual se demuestra simplemente multiplicando a ambos lados de la igualdad por x-1, lo que nos da, x^N-1 en el miembro de la derecha y, en el miembro de la izquierda, (1+x+\cdots + x^{N-1})(x-1)=x+\cdots +x^N - (1+\cdots +x^{N-1})=x^N-1.

Bien, como e^{\frac{2\pi ikn}{N}}=(e^{\frac{2\pi ik}{N}})^n, se tiene que, si 0\leq k, t\leq N-1 y k, t son dos enteros distintos, entonces e^{\frac{2\pi i(k-t)}{N}}\neq 1 y

<E_k,E_k>=\sum_{n=0}^l{N-1} e^{\frac{2\pi ikn}{N}}\overline{e^{\frac{2\pi itn}{N}}}=\sum_{n=0}^{N-1}e^{\frac{2\pi i(k-t)n}{N}}=

=\sum_{n=0}^{N-1}(e^{\frac{2\pi i(k-t)}{N}})^n=\frac{e^{2\pi i(k-t)}-1}{e^{\frac{2\pi i(k-t)}{N}}-1}=0

que es lo que queríamos probar. Se sigue que todo vector de \mathbb{C}^N admite una expresión del tipo x=\sum_{k=0}^{N-1}\frac{<x,E_k>}{<E_k,E_k>}E_k=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\widehat{x}(k)E_k, donde \widehat{x}(k)=<x,E_k>=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{\frac{-2\pi ikn}{N}}. Llamamos transformada discreta de Fourier (o dft) del vector x al vector dft(x)=  \widehat{x}  =(\widehat{x}(0),\cdots,  \widehat{x}(N-1)).

Del mismo modo que los coeficientes de Fourier de la señal periódica x(t) nos describen el comportamiento en frecuencias de ésta, los coeficientes de la dft del vector x nos dan (salvo un factor de \frac{1}{N}) las coordenadas del vector x en la base de frecuencias \{E_k\}_{k=0}^{N-1} de \mathbb{C}^N. Es decir: la transformada discreta de Fourier no es otra cosa sino un cambio de coordenadas. Este es el cambio de coordenadas al que hace referencia el título de esta nota. Veamos cómo se justifica dicho título….

La inmensa mayoría de las señales que aparecen en todo tipo de aplicaciones, en nuestra vida cotidiana (y no tan cotidiana) son analógicas. Y en un elevado tanto por ciento de casos, nuestro interés fundamental está en conocer dichas señales en el mundo de las frecuencias. Es decir: queremos saber cuál es el comportamiento de la transformada de Fourier analógica de la señal (ya sean sus coeficientes de Fourier,  ya sea la transformada F(f).

Sin embargo (¡ah, qué mala suerte!) también en la mayoría de los casos (yo diría que en la totalidad, excepto muy contadas excepciones), ¡no podemos calcular dicha transformada! Incluso si conocemos una expresión analítica precisa de la función a estudiar –cosa que raramente sucede-, lo normal es que seamos incapaces de calcular las integrales que aparecen en la definición de la transformada de Fourier.  Sabemos cuál es la función  que nos interesa, sabemos por qué nos interesa conocer esta función, pero no podemos calcularla directamente, ¡casi nunca! Sería una situación dramática si no existiera… el teorema del muestreo y… ¡la transformada discreta de Fourier!

Transformada de Fourier

Teorema de muestreo y Transformada de Fourier (discreta) para cambiar de sistema

Me explico: gracias al teorema del muestreo, podemos digitalizar la señal analógica original ¡sin perder información!

Para ser completamente honestos, hay que decir que, en realidad, hay ciertos límites a tener en cuenta: por un lado, el teorema del muestreo requiere que tomemos infinitas muestras –y eso no podemos hacerlo- y por otro lado, cada vez que tomamos una muestra podemos cometer un pequeño error de redondeo, porque estamos forzados a cuantizar la información (aunque tomáramos infinitas muestras, constantemente estaríamos introduciendo cierto ruido en la señal) y, además, puede ser difícil adjudicar a cada muestra un instante de tiempo absolutamente preciso (errores de jittering). Sin embargo, lo importante es que, de todos modos, los datos obtenidos, concentrados en un único vector finito, y cuantizado, son lo bastante buenos como para reflejar bastante bien el comportamiento de nuestra señal original durante un cierto intervalo de tiempo (que haremos coincidir con el intervalo de tiempo que nos interesa analizar).

Ahora tenemos un vector, un elemento de \mathbb{C}^n (para, probablemente, un valor  elevado ¡Pero es sólo un vector!) Y, afortunadamente, la dft, nuestro cambio de coordenadas, ¡lo podemos hacer siempre! Y ¡lo podemos hacer rápido, siempre! Si a esto añadimos un poco de “ingeniería matemática”, resulta que, además, los valores obtenidos de este modo –en frecuencia, digital-, una vez trabajados adecuadamente, ¡son una muy buena aproximación a los valores de la transformada de Fourier (analógica) de la señal analógica original!

Con el único ánimo de dar cierta verosimilitud a lo que se acaba de afirmar, incluyo aquí un cálculo que explica la conexión que existe entre el mundo de las frecuencias digitales (de señales tomadas a partir de muestras de ciertas señales analógicas) y el mundo de las frecuencias analógicas –nuestro verdadero foco de atención en la mayoría de las aplicaciones:

En efecto si f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{C}es una señal analógica (de energía finita, para que podamos hablar de su transformada de Fourier) , y si consideramos las muestras

x(n)=f(nT), n=-N/2,-N/2+1,\cdots 0, 1, \cdots, N/2-1

y construimos el vector

z=(x(0),x(1),\cdots, x(N/2-1), x(-N/2),x(-N/2+1),\cdots, x(-1))

que resulta de construir la única función N-periódica g:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{C}  tal que g(k)=f(kT) para k=-N/2,-N/2+1,\cdots, 0,1,\cdots, N/2-1 y forzar la igualdad z=(g(0),g(1),\cdots g(N-1)), entonces la dft de z satisface la ecuación:

T\widehat{z}(k)=T<z,E_k>

=T(\sum_{n=0}^{N/2-1}f(nT)e^\frac{2\pi ikTn}{NT}+\sum_{n=N/2}^{N-1}f((n-N)T)e^{\frac{2\pi ikTn}{NT}})

=T(\sum_{n=0}^{N/2-1}f(nT)e^{\frac{2\pi ikTn}{NT}}+\sum_{s=N/2}^{-1}f(sT)e^{\frac{e\pi i kt(s+N)}{NT}})

T\sum_{n=-N/2}^{N/2-1}f(nT)e^{\frac{2\pi ikTn}{NT}}

\cong \int_{-NT/2}^{NT/2}f(t)e^{\frac{2\pi ikt}{NT}}dt

\cong \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{\frac{2\pi ikt}{NT}}=F(f)(k\frac{1}{NT})

Si NT es suficientemente grande. Por tanto, T\widehat{z}(k)\cong F(f)(k-\frac{1}{NT}).Es decir, la dft de z, una vez modulada multiplicando por T, se puede interpretar de forma natural, bajo ciertas hipótesis adicionales, como una aproximación de la señal que se obtiene si muestreamos la transformada de Fourier continua de la señal f, con un periodo de muestreo \frac{1}{NT}.

¡Justo lo que necesitábamos!. Es por eso que la dft, un simple cambio de coordenadas, sirve, en un sentido muy general, para explicar el mundo. Nuestro mundo.

Autor:  José María Almira Picazo

BIBLIOGRAFÍA       

[1] J. M. Almira,Matemáticas para la recuperación de señales: una introducción”, Grupo Editorial Universitario, 2005.

[2] J. M. Almira,Neuromatemáticas. El lenguaje eléctrico del cerebro”, de la colección: “¿Qué sabemos de…?”, Editorial del C.S.I.C. y Libros de la Catarata, 2016.

Compartir:
Facebooktwittergoogle_pluslinkedin

1 Response

  1. Pingback : FdeT blog series de fourier

Leave a Reply

A %d blogueros les gusta esto: