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26 dic 2017

CONJETURA DE COLLATZ, SIEMPRE ACABARÁ EN 4, 2, 1.

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La historia de las matemáticas está repleta de conjeturas y de algoritmos, algunas de ellas muy conocidas como la famosísima conjetura de Goldbach. Sin embargo la conjetura que presentamos en el presente post ostenta un extraño récord, el de nombres con los que se la conoce, entre ellos: conjetura de Collatz, problema 3n+1, cartografía  3x+1,
algoritmo de Hasse, problema de Kakutani, algoritmo de Siracussa, conjetura de Thwaites y problema de Ulam. Todo un repertorio de nombres para formular, en definitiva, un mismo problema.

Fue el matemático alemán Lothar Collatz el primero en proponer su formulación en el año 1937  por lo que, en lo sucesivo, nos referiremos a ella como Conjetura de Collatz.

Collatz

Lothar Collatz (1910-1990) Fuente Wikipedia

Collatz propuso el siguiente juego con números:

Considera un número natural cualquiera y realizamos de forma sucesiva las siguientes operaciones:

  • Si n es par lo dividimos por 2.
  • Si n es impar lo multiplicamos por tres y le sumamos uno.

Formalmente tenemos una función definida dentro del conjunto de los números naturales y con valores naturales de la siguiente forma:

f(n)=\left\{  \begin{array}{ccc}  \frac{n}{2}& n & par \\  3n+1 & n & impar \\  \end{array}  \right.

¿Qué ocurre si aplicamos esta regla de forma recurrente?

Pensemos en un número, por ejemplo, dando a  n el valor 10 y apliquemos la regla:

  • Como 10 es par, dividimos entre 2 y obtenemos el número 5.
  • Como 5 es impar, multiplicamos por 3 y sumamos 1, obteniendo el número 16

Así, sucesivamente, obtenemos la secuencia:

10, 5,16, 8, 4, 2, 1

Llegamos finalmente a obtener el valor 1 como número final de la secuencia.

Observemos que podemos continuar la secuencia, pero el siguiente número volvería a ser 4, y por tanto se repetiría la secuencia 4,2,1 de forma indefinida.

Collatz afirmó que sea cual sea el número de partida siempre llegaremos a finalizar la secuencia con el número 1.  (Es decir finalmente aparecería la secuencia 4, 2, 1 repitiéndose de forma indefinida)

Este hecho tan aparentemente sencillo, pues sólo requiere de sumas, multiplicaciones y divisiones se ha convertido en todo un problema a resolver  ya que, actualmente, no se sabe si esa afirmación es cierta o no.

Las secuencias de números obtenidas mediante este procedimiento se conocen con el nombre de números granizo o números maravillosos.

Al analizar este problema podemos pensar que al considerar un número n de partida mayor obtendremos una sucesión con más términos, pero eso no es cierto. Pensemos en el número 50. Vamos a calcular la sucesión de Collatz en este caso.

50, 25, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

Tenemos sólo 25 términos en la sucesión. Sin embargo existe un caso muy curioso, el que nos da el número n=27. Si formamos la sucesión de Collatz para este número natural tendremos que dar 111 pasos para llegar al número 1:

27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

Una cosa sorprendente de esta secuencia numérica es que partiendo del número 27 se llega en un momento determinado al número 9232, es decir partiendo de un número muy  bajo,  la secuencia va tomando valores que pueden llegar a ser muy grandes, como en este caso concreto.

Actualmente se ha logrado calcular esta secuencia de números granizo partiendo de números naturales hasta el número 19\cdot 2^{58} es decir aproximadamente hasta 5,48\cdot 10^{18}, y hasta ese valor la secuencia de números granizo siempre finaliza con la secuencia 4,2,1 en bucle, por lo que se cumple la conjetura hasta esa cantidad.

Sin embargo, si algo hemos aprendido de las matemáticas, es que no basta con que se cumpla la conjetura para todos los números hasta una determinada cantidad, sino que se tiene que demostrar que se cumple para todos los números, ya que éstos son infinitos  y eso, aún, está  en el aire, ya que nadie ha dado una demostración de este hecho.

Se necesitará por tanto de un razonamiento abstracto que demuestre que esto se verifica ya que con ordenadores sólo se puede comprobar empíricamente que para determinadas cantidades con cifras cada vez mayores se cumple  y, aunque se pueda demostrar para números muy grandes,  en matemáticas, no es suficiente como para considerar probada la veracidad de la afirmación.

Pero, ¿por qué es importante resolver esta conjetura? Al igual que la resolución de otro tipo de problemas ha dado origen a la investigación en una nueva área de las matemáticas, los matemáticos piensan que demostrar esta conjetura podría abrir nuevos horizontes y desarrollar nuevas técnicas en la teoría de números.

AUTOR: FRANCISCO MORANTE QUIRANTES @fdetsocial

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