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7 ene 2016

¿Cuántos infinitos existen?

¿Existen distintos infinitos?

De los muchos símbolos que se utilizan en matemáticas hay uno que encierra un concepto extraño a priori, el infinito. La sociedad actual está acostumbrada a hablar de infinito e incluso a su símbolo que es en ocasiones tatuado por muchos jóvenes.

Lemniscata: Símbolo del infinito

Lemniscata: Símbolo del infinito

¿Cuándo surge el símbolo del infinito?

El símbolo del infinito se denomina lemniscata y fue descrita por primera vez por Jakob Bernoulli en 1634, como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que el producto de las distancias desde dos puntos fijos (denominados focos) es constante. Esta curva surge como modificación de una elipse, ya que una elipse se define como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias desde dos puntos fijos es constante.

En coordenadas cartesianas su ecuación tiene la siguiente expresión:

(x^2+y^2)^2=2a(x^2-y^2)

El nombre “Lemniscata” viene del latín y significa “cinta colgante”

Ahora que ya conocemos el origen del símbolo que define al infinito que utilizamos en matemáticas, nos podemos preguntar por el concepto, es decir ¿Qué es el infinito?

Esta no es una pregunta fácil de responder, de hecho es una cuestión que ha estado latente en no sólo en las matemáticas, sino en la humanidad desde tiempos inmemoriales, y prueba de ellos es que desde distintas áreas como la filosofía con Demócrito, Zenón, Anaximandro y Platón entre otros, desde la Teología con San Agustín de Hipona o Santo Tomás de Aquino y como no desde las matemáticas con Ferdinand, Cantor, Weierstrass, Dedekind o Hilbert entre otros han tratado de aclarar y definir este concepto.

Parece lógico pensar que podemos tratar al infinito como una unidad, es decir considerarlo como una cantidad inmensamente grande y tratarlo como si fuese un elemento que surge al superar el paso al límite.

Sin embargo esta definición presenta muchos problemas ya que según esta definición tendremos muchos infinitos distintos que nos dificultan la medición y la comparación. Por poner un ejemplo, si consideramos los números naturales y los números pares. Está claro que ambos conjuntos tienen infinitos elementos, pero con esta definición podemos pensar que el segundo conjunto tiene menos elementos que el primero, por lo que son infinitos distintos.

Sin embargo es fácil comprobar que ambos infinitos son iguales, por lo que en este caso no estamos hablando de infinitos distintos, para ello bastará con establecer una correspondencia biunívoca entre el conjunto de los números naturales y el conjunto de los números pares de la siguiente forma:

\left.  \begin{array}{c}  f:\mathbb{N}\longrightarrow P \\  f(n)=2p \\  \end{array}  \right.

 

Esta función es biyectiva por lo que los dos conjuntos tienen el mismo número de elementos, y por lo tanto los dos infinitos son iguales.

Esta definición de infinito fue rechazada por matemáticos de la talla de Gauss, quienes asociaban al infinito una definición más teológica. Esta definición se conoce actualmente como el infinito potencial y está vinculado a la reiteración de un proceso que nunca finaliza dando lugar a muchas paradojas como por ejemplo la paradoja de Zenon de Elea o la de Aquiles y la tortuga.

Cantor fue el primero en dar rigor al concepto de infinito observando que se podía establecer una correspondencia biyectiva entre los puntos de un segmento y los de un rectángulo. Este hecho fue comunicado por Cantor a su maestro Kronecker, quien defendía la idea de que “Dios creó los números naturales y el resto es obra de los hombres”, por lo que maestro y discípulo llegaron a un duro enfrentamiento por este hecho.

Este altercado con su maestro no disipó las ideas del joven Cantor quien llamó \aleph_0, Aleph-0, al cardinal del conjunto de los números naturales \mathbb{N}.

Es fácil demostrar que cualquier subconjunto de \mathbb{N} con infinitos elementos tiene cardinal \aleph_0, siendo éste el primer cardinal trasfinito.

Dos conjuntos tendrán el mismo cardinal, si existe una biyección de uno en otro.  Resulta interesante llegados a este punto comparar el cardinal de otros conjuntos con el de los números naturales.

Por ejemplo consideramos los números racionales, es evidente, que este conjunto tiene infinitos elementos, pero ¿Este infinito es el mismo que el de los números naturales, es decir, coincide con Aleph-0?

Para responder a esta afirmación tendríamos que construir una aplicación biyectiva del conjunto de los números naturales en el de los números racionales.

El conjunto de los números racionales, está formado por los números de la forma a/b donde a, b son números enteros, siendo b un número no nulo, por tanto en \mathbb{Q} hay tantos elementos como en \mathbb{N}^2, por lo que para ver si \mathbb{Q} tiene el mismo número de elementos que \mathbb{N}, bastará con estudiar el número de elementos de \mathbb{N}^2.

Para ello consideremos la aplicación

\left.  \begin{array}{c}  f:\mathbb{N}^2\longrightarrow \mathbb{N} \\  f(n,m)=\frac{1}{2}(n+1)(n+m+1)+n \\  \end{array}  \right.

Esta aplicación es una biyección como se puede deducir fácilmente de la siguiente tabla, donde hemos representado en la primera fila y en la primera columna los números naturales, y en las celdas el resultado de aplicar esta aplicación a ellos. Si observamos las diagonales de esta matriz tenemos los números naturales ordenados.

Infinitos de los números racionales y naturales

Infinitos de los números racionales y naturales

Por lo tanto queda demostrado que \mathbb{N} y \mathbb{N}^2 tienen el mismo número de elementos, y por lo tanto \mathbb{N}  y \mathbb{Q} también tienen el mismo número de elementos.

De hecho este procedimiento descrito por Cantor para demostrar la numerabilidad de \mathbb{Q} , vale también para demostrar que \mathbb{N}^n  es numerable.

Ahora cabe preguntarnos qué pasa con el conjunto de los números reales, ¿Tiene \mathbb{R} el mismo número de elementos que \mathbb{N}?

Este fue uno de los descubrimientos más importantes de Cantor, ya que mediante su diagonalización demostró que los números reales no podían contarse, es decir, que el conjunto de los números reales no tiene el mismo número de elementos que \mathbb{N}, por lo que Cantor demostró que el infinito de los números reales es mayor que el de los números naturales, y por lo tanto estamos ante dos infinitos distintos.

Para demostrar esto Cantor consideró una matriz extensa donde intentó colocar todos los posibles números reales. Consideremos únicamente el intervalo [0,1]. Cualquier número de este intervalo se puede expresar de la forma 0,xyzt…. Supongamos por reducción al absurdo que el intervalo [0,1] es infinito numerable, entonces se puede elaborar una secuencia de números x_1,x_2,x_3,\cdots.

Orden en [0,1]

Si consideramos ahora el número definido por: La i-ésima cifra decimal corresponde con la i-ésima cifra decimal del número . De esta forma obtenemos un número del intervalo [0,1]. Si ahora consideramos el número que se obtiene de sumar una unidad a cada cifra decimal del número anterior (Teniendo en cuenta que si una cifra decimal es 9, al sumarle 1 pondríamos un 0) ¿Qué posición ocupa en nuestra lista?

En nuestro caso:

Orden en [0,1]

Tendríamos así el número  Consideramos el número obtenido al sumar una unidad a cada cifra decimal, obteniendo el número: x= 0,49109…

Este número no está en la lista, ya que al intentar buscarlo en la lista, encontraremos que el valor de la diagonal de esta matriz será distinto del valor de la cifra decimal de nuestro número, por lo que este número así construido no está en la lista, y en consecuencia tenemos que [0,1] no es numerable.

Es decir el intervalo [0,1] tiene infinitos elementos, con un infinito distinto del de los números naturales.

Es fácil probar que el conjunto de los números reales tiene igual cardinal que el conjunto [0,1]. Por lo que Cantor demostró que existían al menos dos infinitos distintos.

Para continuar con nuestro razonamiento, tenemos que hacer un inciso para recordar un concepto de teoría de conjuntos.

Dado un conjunto A, se define el conjunto Partes de A como el conjunto formado por todos los subconjuntos de A. Es fácil probar que si el cardinal de A es n, entonces Partes de A tiene cardinal 2^n.

Cantor denotó al nuevo infinito encontrado Aleph-1, \aleph_1, también llamado “continuo”, y conjeturó que \aleph_1=2^{\aleph_0}.

De hecho Cantor definió \aleph_0, \aleph_1,\aleph_2,\aleph_3,\cdots  con mucho rigor matemático.

Pero el propio Cantor lanzó un desafío a la comunidad matemática. ¿Existe algún número trasfinito entre \aleph_0 y \aleph_1? Esta cuestión se conoce como la hipótesis del continuo.

Cantor no logró dar respuesta a esta cuestión, y hoy día sabemos que es una cuestión indecidible, es decir que no se puede comprobar su afirmación ni refutar su falsedad.

AUTOR: FRANCISCO MORANTE QUIRANTES

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