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18 oct 2018

TU CUERPO ESTÁ LLENO DE FRACTALES

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¿Queda algo por resolver en el problema del cálculo de áreas o longitudes? Aunque muchos pensáis que el cálculo de áreas o longitudes está totalmente resuelto, la realidad es bien distinta.

Matemáticamente es posible calcular, por ejemplo, la diagonal de un cuadrado o de un rectángulo del que se conocen sus lados, de hecho, este fue el origen de los números irracionales. De la misma forma es posible calcular el perímetro o el área de una circunferencia conocido el radio, problema que dio origen al descubrimiento del celebérrimo número Pi. Sin embargo, pensemos en la frontera de dos países, por ejemplo, España y Portugal. ¿Cuánto mide la frontera?

Si miramos algunas referencias obtendremos que la frontera entre España y Portugal es de 1214 km  según la Wikipedia, 1232 km según el INE, 1292 km según las fuentes del MECD. A la vista de estos datos podríamos dudar cuál de ellos es el verdadero valor que nos da la longitud de la frontera entre estos ambos países vecinos. La respuesta a esta pregunta es que no es posible dar un valor exacto a esta medida puesto que se trata de una curva totalmente irregular, siendo totalmente imposible medirla. Aunque esto resulta una contradicción con el hecho de que la frontera delimita una porción de tierra de área finita.

Este hecho fue plasmado por primera vez por Benoît B. Mandelbrot en su famoso artículo “¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?”

Imaginemos que tratamos de medir la frontera entre España y Portugal y que para ello estableciéramos una unidad de longitud. Entonces la longitud de esta curva se establecerá en función del número de veces que es necesario llevar esta unidad de longitud sobre dicha frontera para alcanzar a cubrirla por completo pero, si disminuimos el tamaño de la unidad de longitud, entonces, la longitud de esa curva aumenta.

Basándose en estos argumentos aparece el concepto de fractal.

El término fractal deriva del latín fractus que significa quebrado o fracturado, y se utiliza para designar objetos cuya estructura básica se repite a diferentes escalas. La principal característica de los fractales recae en que al aumentarlo, los elementos que aparecen vuelven a tener el mismo aspecto independientemente de la escala utilizada. Este vídeo ilustra esta característica de los fractales.

Dentro de esta autosimilitud o autosemejanza existente entre los conjuntos fractales podemos distinguir tres tipos, en función de si se autosemeja a toda la estructura, o a una parte de la misma:

  • Autosimilitud exacta: en este caso el fractal es idéntico a diferentes escalas. Como ejemplo tenemos el copo de nieve o la  curva de Koch
  • Cuasiautosimilitud: en este caso el fractal aparece idéntico en diferentes escalas como, por ejemplo, en el conjunto de Mandelbrot  
  • Autosimilitud: cuando el fractal tiene medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de escala.  Un ejemplo de esta propiedad la encontramos en los paisajes fractales como el de la figura
Paisaje fractal

Paisaje fractal

La frontera entre dos países puede caracterizarse por un fractal, y para poder medirla es necesario establecer un concepto diferente de dimensión del que estamos acostumbrados. Recordemos que la palabra dimensión proviene del latín dimensio que significa medida.

Necesitamos por lo tanto una medida, un parámetro, que nos mida la irregularidad del fractal. Esta medida la denominaremos dimensión fractal.

A principios del siglo XX, una gran cantidad de matemáticos entre los que destacan Poincaré, Lebesgue, Brouwer, Cantor, Menger, Peano, Hilbert, … se dedicaron a estudiar a fondo los fractales, y fruto de esos estudios surgieron diversas definiciones de dimensión fractal.

Desde pequeños al estudiar geometría aprendemos que un objeto de dimensión 0 es un punto, así como uno de dimensión 1 es una curva. Pensemos por ejemplo que nos desplazamos por una carretera, para situarnos sólo necesitamos un número real, concretamente, el punto kilométrico de la carretera en el que nos encontramos, por eso decimos que una curva, aunque no sea necesariamente una recta, tiene dimensión 1.  Si por el contrario nos situamos en un plano la dimensión será dos, por lo que necesitamos dar dos valores.

Sin embargo los fractales son unos entes matemáticos que no se rigen por este concepto de dimensión euclídea, pudiendo tener dimensiones que no son números enteros.

Para ilustrar este concepto, vamos a considerar el fractal denominado Conjunto de Cantor.

Para construirlo partimos del intervalo cerrado C_0=[0,1]. A continuación dividimos el intervalo en tres partes iguales y eliminamos la parte central.

esta forma obtenemos una unión disjunta de dos intervalos de longitud 3^{-1} cada uno:

C_1=[0,\frac{1}{3}]\cup [\frac{2}{3},1]

Por lo tanto la medida de C_1 será 2\cdot 3^{-1}=\frac{2}{3}.

A continuación con cada uno de los intervalos que nos aparecen volvemos a dividirlos en tres partes y eliminamos la parte central. Así C_2 es la unión de 2^2 intervalos disjuntos de longitud 3^{-2} cada uno:

C_2=[0,\frac{1}{9}]\cup [\frac{2}{9},\frac{1}{3}]\cup [\frac{8}{9},1]

Por lo tanto la longitud del conjunto C_2 es 2^2\cdot 3^{-2}=(\frac{2}{3})^2.

Volviendo a repetir el proceso k veces se llega a que C_k es una unión disjunta de 2^k intervalos con longitud 3^{-k} cada una.

En consecuencia la longitud de C_k es 2^k\cdot 3^{-k}=(\frac{2}{3})^k.

El Conjunto de Cantor viene determinado por:

C=\cap_{k\geq 0} C_k

Este conjunto, a pesar de tener longitud cero, tiene la cardinalidad del continuo, es decir la misma cardinalidad que el intervalo [0,1] a partir del cual se construye. Es un conjunto totalmente disconexo.

Si denotamos por d a su dimensión fractal, esta será la dimensión de la última iteración realizada. Si la figura la podemos descomponer en N réplicas de sí mismo reducida a un factor de escala r, se tendrá N\cdot r^d=C siendo C constante. Resolviendo se tiene:

d=\frac{lnN}{ln\frac{1}{r}}

En el caso del Conjunto de Cantor, se tiene que N=2, r=\frac{1}{3}, de donde:

d=\frac{ln2}{ln3}=0,63\cdots

Por lo que se tiene que el Conjunto de Cantor es más grande que los puntos, pero más pequeño que un segmento de una recta.

El cálculo de la dimensión fractal, en general, es muy difícil. De hecho en la actualidad existen una gran cantidad de fractales de los que se desconoce su dimensión exacta.

Aunque la incorporación del concepto fractal es relativamente reciente en comparación con otros conceptos matemáticos, sus aplicaciones en la vida cotidiana son muy extensas y van desde el estudio de los fenómenos naturales al estudio de enfermedades tales como el cáncer. Tal y como publica Michael F. Barsley, uno de los científicos más importantes en el estudio de los fractales en su libro Fractals everywhere , “La geometría fractal cambiará a fondo su visión de las cosas. Seguir leyendo es peligroso. Se arriesga a perder definitivamente la imagen inofensiva que tiene de nubes, bosques, galaxias, hojas, plumas, flores, rocas, montañas, tapices, y de muchas otras cosas. Jamás volverá a recuperar las interpretaciones de todos estos objetos que hasta ahora le eran familiares”.

Los fractales abundan en la naturaleza y un claro ejemplo de ello son la coliflor, el helecho o el brócoli, pero ¿pueden los fractales ayudarnos a estudiar el cuerpo humano?¿Y las enfermedades?

Galileo (1564-1642) utilizaba su pulso para cronometrar el balanceo del movimiento pendular, lo que nos sugiere, que de alguna forma,  esto nos hace pensar que en aquella época se pensaba que el latido del corazón era como un metrónomo.

Sin embargo, esta teoría no es cierta, ya que el latido de un corazón humano sano tiene fluctuaciones. Los patrones que resultan de estas fluctuaciones son fractales, ya que al ampliarlas y extenderlas vuelven a repetirse los patrones. De forma que el latido de un corazón sano presenta una arquitectura fractal.

Pero no sólo los latidos del corazón presentan arquitectura fractal. Recientes investigaciones han descubierto que el  tejido cardíaco tiene estructura fractal y que su dimensión es un indicador de la salud del mismo siendo los corazones que tienen mayor dimensión fractal los más predispuestos a manifestar una lesión.

De igual forma los fractales aparecen en enfermedades que, por desgracia, son muy habituales como el cáncer.  Científicos austríacos han descubierto que el comportamiento del cáncer, sigue patrones fractales. De hecho es posible anticipar su aparición y desarrollo mediante fractales construidos con algoritmos específicos.  

Tradicionalmente se ha observado a esta terrible enfermedad como un proceso lineal que se repite en todos los casos. Se parte de un proceso molecular que provoca que células sanas se vuelvan cancerosas observando cómo en función de los tejidos afectados y del tipo de cáncer, éste se desarrolla según unos modelos determinados. Actualmente se está investigando en la línea de que estos patrones siguen una geometría fractal, por lo que en el momento de que sea determinada su geometría será posible determinar su patrón de expansión y hasta su posible aparición.

Un equipo investigador del Hospital de Viena ha podido establecer que la dimensión fractal de un tumor puede ser utilizada como medida objetiva en los estados preliminares del cáncer de colon, útero o el cáncer de mama.

fractal 02

En la figura se muestra un tejido mamario (a) y un fractal generado sintéticamente (b).

En un resultado publicado en 2002, se ha conseguido predecir cómo se desarrollará un tumor de cáncer de mama gracias a las simulaciones creadas por ordenador, por lo que  éste se desarrolla siguiendo una fórmula matemática dando como resultado a un fractal.

Los fractales también resultan fundamentales en el estudio de enfermedades como la esclerosis múltiple. Los pacientes en un estado inicial de desarrollo,  que no presentan lesiones aparentes, muestran un valor menor de la dimensión fractal en comparación con los pacientes sanos.

Algunas enfermedades son detectadas en pacientes cuando ya están muy avanzadas, como es el caso de la osteoporosis. Esta enfermedad de los huesos, afecta principalmente a las personas de una avanzada edad, y sólo es detectable cuando se produce una alteración visible en la textura ósea. Gracias a las técnicas fractales, es posible hoy día detectar esta enfermedad de forma prematura.  La textura ósea sigue una geometría fractal, con lo que utilizando las técnicas fractales es posible predecir cómo evolucionará dicha textura, pudiendo diagnosticarse con antelación y por lo tanto pudiendo tomar las medidas oportunas para evitar su evolución.

La Universidad de Jaén es pionera en el estudio de la relación existente entre los fractales y las enfermedades neurodegenerativas, obteniendo unos resultados muy positivos en éste ámbito. Como consecuencia de esta investigación se ha desarrollado un programa informático que permite el cálculo de la dimensión fractal, algo muy útil cuando se asocia un fractal a una determinada enfermedad.

Aunque esta asociación es realmente novedosa y esperanzadora, también hay voces críticas desde la clase médica, aunque sólo el tiempo dirá si las últimas investigaciones en matemáticas pueden ser un factor decisivo en la lucha contra el cáncer.

Biografía:

http://matema.ujaen.es/jnavas/web_recursos/archivos/fractales%20datos/Modulo%205-fractales_%20jnavas.pdf

http://www.um.edu.ar/catedras/ANASEN/document/fractal/ejemplo.pdf

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