ENTRADAS

9 feb 2016

CURVAS GEODÉSICAS

Una breve introducción a las curvas geodésicas

Para inaugurar este 2016 mi primera aportación está relacionada con el último post publicado en este blog, aunque el enfoque desde el que voy a partir será un poco menos divulgativo y un tanto más riguroso.Se considerará que el lector posee una base en topología, geometría diferencial (para algunos topología diferencial), y álgebra (sobre todo en cuanto a tensores). Desempolvados los apuntes, demos paso al artículo.

Una conexión afín, en una variedad M es una aplicación que asigna a cada par de campos de vectores X, Y otro vector, denotado por \nabla _X Y cumpliendo las siguientes propiedades:

  • \nabla_{fX+gY}Z=f\nabla_X Z+g\nabla_Y Z
  • \nabla_X (Y+Z)=\nabla_X Y +g\nabla_X Z
  • \nabla_X (fY)=f\nabla_X Y+x(f)Y

Donde f y g son funciones f,g:M\rightarrow \mathbb{R}

La terminología “conexión” proviene de Levi-Civita quien introdujo el concepto de paralelismo generalizado en variedades que permitiría de alguna forma conectar vectores paralelos de espacios tangentes cercanos.

Teorema:

Dada M una variedad semiriemanniana con métrica G=g_{ij}dx^i\bigotimes dx^j. Existe una única conexión \nabla, llamada conexión de Levi-Civita, tal que:
\nabla_{\delta_i}\delta_j=\nabla_{\delta_j}\delta_i, y
\frac{d}{dt}G(V,W)=G(\frac{DV}{dt},W)+G(V,\frac{DW}{dt})
Donde V=V(t) y W=W(t) son campos de vectores definidos sobre una curva. Además se tiene que:
\Gamma_{ij}^k=\frac{1}{2}g^{mk}(g_{mi,j}+g_{jm,i}-g_{ij,m}) se denominan símbolos de Christoffel, siendo (g^{ij}) la matriz inversa de (g_{ij})

Sea M una variedad con una conexión \nabla, y sea \gamma una curva en M. La aceleración de $\gamma$ es el campo de vectores D_t \gamma' a lo largo de \gamma
Diremos que una curva \gamma es una geodésica con respecto a \nabla, si su aceleración es cero, es decir si D_{t}\gamma'=0

Si (M,g) es una variedad riemanniana, se dice que una curva \gamma es una geodésica riemanniana si su aceleración respecto de la conexión de Levi-Civita es cero. Como en lo que sigue trabajaremos con variedades Riemannianas, hablaremos de curvas geodésicas.
Como consecuencia de la definición anterior, se tiene que cualquier geodésica tiene una velocidad constante, es decir, el módulo de su velocidad es constante en todo punto.

Teorema:
Sea(U,(x^i)) una carta local y \gamma:[a,b]\rightarrow M una curva diferenciable tal que \gamma([a,b])\subset U– Entonces \gamma es una geodésica sí y sólo sí, sus funciones coordenadas \gamma(t)=(x^1(t),\cdots, x^n(t)) satisfacen
x''^k(t)+x'^i(t)x'^j(t)\Gamma_{ij}^k(x(t))=0

El siguiente Teorema nos garantiza la existencia y unicidad de las curvas Geodésicas.
Teorema:
Sea M una variedad con una conexión afín. Para cada p\in M, $V\in T_pM, t_0\in\mathbb{R}&s=1$, existe un intervalo abierto I\subset \mathbb{R} que contiene a t_0 y una única geodésica \gamma:I\rightarrow M que satisface \gamma(t_0)=p, \gamma'(t_0)=V

Una vez que tenemos garantizada la existencia y la unicidad de las curvas geodésicas bajo las condiciones del anterior Teorema, un resultado importante nos asegura que todas las geodésicas de Riemann son curvas de veolocidad constante.

El núcleo de la demostración es el teorema de existencia y unicidad para Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarios} aplicando las definiciones que acabamos de ver.

Veamos a continuación un ejemplo de geodésicas.

Consideremos el espacio \mathbb{R}^{2} con la conexión usual:
Consideramos las coordenadas \{x_{1},x_{2}\} de dicho espacio y dos campos de vectores diferenciables cualesquiera X,Y \in \mathfrak{X}(\mathbb{R}^{2})

\nabla_{X} Y = \nabla_{X}\left( \overset{2}{\underset{i=1}{\sum}} \lambda_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}} \right) = (\ast)

donde

\lambda_{i} son las funciones coordenadas (diferenciables) del campo Y en la base \left\lbrace \dfrac{\partial}{\partial x_{i}} \right\rbrace_{i=1}^{2} de T_{p}M.

(\ast) =\overset{2}{\underset{i=1}{\sum}} \left( \nabla_{X}(\lambda_{i}) \frac{\partial}{\partial x_{i}} + \lambda_{i} \nabla_{X}\left( \frac{\partial}{\partial x_{i}} \right) \right)

Se ha usado que la conexión es una derivación en la 2ª componente y es evidente que \nabla_{X} \frac{\partial}{\partial x_{i}} = 0. Por lo tanto, en las coordenadas usuales y siguiendo la definición de coeficientes de la conexión tenemos que:

\Gamma_{ij}^{k} = 0 \quad \forall i,j,k.

Continuando con el ejemplo, establecemos las ecuaciones geodésicas.

\gamma (t) = (x_{1}(t),x_{2}(t))

\forall k, \quad x_{k}^{''} + \underset{i,j}{\sum} \left( x_{i}^{'} x_{j}^{'} \Gamma_{ij}^{k} \right) = 0

Por lo tanto tenemos:

x``_{1}=0 con k=1

x``_{2}=0 con k=2

Con condiciones iniciales:

x_{1}(0)=x_{10},\quad x_{1}^{'}(0)=v_{1}
x_{2}(0)=x_{20},\quad x_{2}^{'}(0)=v_{2}

(El sistema de ecuaciones se obtiene de la demostración del teorema enunciado anteriormente, que se deja al lector).
Con lo cual si tenemos p=(x_{10},x_{20}) y v=(v1,v2) la curva es (resolviendo el sistema anterior) \gamma (t)=(v_{1}t + x_{10},v_{2}t + x_{20})

Por ejemplo, poniendo p=(0,0), v=(1,1) obtendríamos la curva \gamma_{1}(t)=(t,t) que es una geodésica del plano (\mathbb{R}^{2}).

Como interpretación podemos decir que las curvas geodésicas en el plano son rectas recorridas con velocidad constante.

Geodésicas en superficies de revolución.

Si consideramos S\subset \mathbb{R}^3 una superficie de revolución obtenida al girar una curva regular del plano XZ que no corta al eje Z alrededor del mismo, y tenemos una parametrización de la curva de la forma

x=u(\theta)

y=0

z=v(\theta)

Siendo u(\theta)\neq 0, entonces la superficie de revolución S admite una parametrización regular definida por la aplicación:

\tau:\mathbb{R}^2 \rightarrow\mathbb{R}^3

\tau(\phi,\theta)=(u(\theta)cos\phi,u(\theta)sen(\phi),v(\theta))

Podemos utilizar (\phi,\theta) como sistema de coordenadas locales en cualquier punto de la superficie de rovolución. Utilizando este sistema de coordenadas locales en la variedad S tenemos:
\Gamma_{\phi,\phi}^\phi=0
\Gamma_{\phi,\phi}^\theta=\frac{-u(\theta)u'(\theta)}{u'(\theta)^2+v'(\theta)^2}
\Gamma_{\phi,\theta}^\phi=\Gamma_{\theta,\phi}^\phi=\frac{u'(\theta)}{u(\theta)}
\Gamma_{\phi,\theta}^\theta=\Gamma_{\theta,\phi}^\theta=0
\Gamma_{\theta,\theta}^\phi=0
\Gamma_{\theta,\theta}^\theta=\frac{u'(\theta)u''(\theta)+v'(\theta)v''(\theta)}{u(\theta)^2+v'(\theta)^2}

Donde para el cálculo de \Gamma_{ij}^k, hemos usado los símbolos de Christoffel:

\Gamma_{ij}^k=\frac{1}{2}\sum_{i}g^{kl}(\frac{\partial g_{il}}{\partial x^j}+\frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^{l}})

En este caso la curva \sigma:\mathbb{R}\rightarrow S será geodésica si su vector tangente D=\sigma_{*}(\frac{\partial}{\partial t}) cumple \Delta_D D=0.
Si la curva se expresa como \sigma(t)=(x_1(t),x_2(t),\cdots, x_n(t)), entonces será una curva geodésica su cumple:

\frac{\partial^2x^i}{\partial t^2}+\sum_{j,k}\Gamma_{jk}^i \frac{\partial x^j}{\partial t}\frac{\partial x^k}{\partial t}=0

Utilizando las expresiones anteriores, se tiente que \sigma(t)=(\phi(t), \theta(t)) es una curva geodésica si cumple:

\phi''+\frac{2u'(\theta)}{u(\theta)}\phi'\theta'=0

\theta''-\frac{u(\theta)u'(\theta)}{u'(\theta)^2+v'(\theta)^2}(\phi')^2+\frac{u'(\theta)u''(\theta)+v'(\theta)v''(\theta)}{u'(\theta)^2+v'(\theta)^2}(\theta')^2

Como ejemplo vamos a hallar las curvas geódésicas de un toro de revolución. Para ello en primer lugar recordemos que un toro de revolución se obtiene al girar una circunferencia en el plano XZ que no corta al eje Z.
Las funciones que describen al toro de revolución vienen determinadas por:

u(\theta)=acos\theta+b
v(\theta)=asen\theta

Siendo 0<a<b.
Las curvas geodésicas en este caso quedan caracterizadas por la ecuación:
\frac{d\phi}{d\theta}=\frac{ak}{(acos\theta+b)\sqrt{c(acos\theta +b)^2-k^2}}
Siendo c una constante.

Geodésicas sobre un toro de revolución

Geodésicas sobre un toro de revolución

 

Aplicación:
Existen otras definiciones de geodésica que resaltan la relación de este artículo con el de \Geometrías no Euclídeas. En particular, una geodésica se define como las curvas de velocidad constante de una superficie dada y está contenida en la misma.

Trayectoria de dos partículas en un campo gravitatorio esférico de una masa central. Geodésicas sobre una superficie curva

Trayectoria de dos partículas en un campo gravitatorio esférico de una masa central. Geodésicas sobre una superficie curva

AUTOR: Javier Gómez López

Más entradas del la autor para FdeT

Entra aquí para ver todos los artículos relacionados con el centenario de la Relatividad General que FdeT ha preparado para ti.

Si quieres participar en el blog como colaborador en alguna de las secciones, envíanos un mail a info@fdet.es 

Grupo FdeT

Compartir:
Facebooktwittergoogle_pluslinkedin

Leave a Reply

A %d blogueros les gusta esto: