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8 ago 2016

¿Dividir un sándwich de jamón y queso en dos partes idénticas de un solo corte? Matemáticas al rescate

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Imaginemos por un momento que dos personas tienen que compartir un sándwich de jamón y queso. El jamón y el queso se distribuyen dentro del sándwich de manera irregular como no podría ser de otra manera, entonces, ¿es posible, realizando un solo corte, dividir en dos el sándwich de forma que la cantidad de pan, queso y jamón en cada trozo sea exactamente la misma?

Muchos pensaréis que esto no es posible  o que sólo es posible en algunos casos, sin embargo existe un resultado matemático que por sorprendente que parezca nos indica que sí es posible realizar ese corte. Aunque popularmente se atribuye este resultado a Mc Donald, nada más lejos de la realidad, este resultado es una consecuencia del Teorema de Borsuk-Ulam.

Teorema del sandwich

Teorema del sandwich

El problema del sándwich de jamón y queso apareció por primera vez en 1938 con el enunciado “¿Es posible biseccionar tres sólidos, colocados arbitrariamente, con la ayuda de un plano adecuado?”

Este problema fue resuelto por Steinhauss y Banach utilizando una reducción del Teorema de Borsuk-Ulam. Recordemos que el Teorema de Borsuk Ulam es un célebre resultado de topología que afirma:

Si f:S^n\rightarrow \mathbb{R}^n es una función continua, entonces existe un punto sobre la esfera x\in S^n tal que f(x)=f(-x).

Es decir este Teorema afirma que si f es una función continua sobre la esfera, entonces existen dos puntos antipodales tales que tienen la misma imagen.

Teorema:

Sean A, B y C tres subconjuntos acotados de \mathbb{R}^3. Entonces existe un plano de \mathbb{R}^3 que divide cada región exactamente en dos partes de igual volumen.

Para demostrarlo, vamos a suponer que A, B y C están contenidos en la esfera unidad de diámetro unidad que pasa por el origen de coordenadas.

Vamos a denotar por D_x al diámetro que pasa por un punto x de la esfera S^2. (Recordemos que un diámetro es un segmento que une dos puntos de la esfera y pasa por el centro de la misma).

Consideramos a continuación el intervalo I=[0,1], y para todo punto t del intervalo I consideramos P_t el plano perpendicular a D_x cuya distancia a x es t.

Podemos observar que si t=0, el plano será perpendicular a D_x y pasará por x, mientras que si t=1, el plano será perpendicular a D_x y pasará por la antípoda de x. (Al ser t un punto del intervalo [0,1], estaremos considerando todos los planos perpendiculares a D_x que pasan por puntos dentro de la esfera de diámetro 1, incluyendo los dos extremos como acabamos de observar).

De esta forma tenemos que P_t divide en dos partes iguales al conjunto A, que notaremos por A_1 y A_2. Consideramos a continuación A_1 la parte de A más próxima a x.

A continuación definimos las aplicaciones \phi_1, \phi_2:I\rightarrow \mathbb{R} dadas por \phi_1(t)=volumen(A_i),  i=1,2.

De esta forma tenemos que las aplicaciones \phi_1,\phi_2 son contiuas. De hecho \phi_1 es monótona y creciente y \phi_2 es monótona decreciente.

Si consideramos ahora la función \phi :I\rightarrow\mathbb{R}, definida por \phi(t)=\phi_1(t)-\phi_2(t). Esta función es continua y monótona creciente. Además cumple que:

  • \phi(0)=\phi_1(0)-\phi_2(0)=0-Volumen(A)=-Volumen(A)
  • \phi(1)=\phi_1(1)-\phi_2(1)=Volumen(A)-0=Volumen(A)

Por lo tanto tenemos que \phi(0)=-\phi(1)

Es decir tenemos una aplicación continua que toma valores opuestos en los extremos, por lo que aplicando el Teorema de Bolzano, existe un valor t\in I tal que \phi(t)=0.

Al ser la función \phi monótona creciente, se tiene que o bien se anula en un único punto, o bien se anula en todo un intervalo cerrado de la forma [a,b].

Si se anula en un único punto denotamos a este valor por \alpha(x) (Recordemos que depende del punto x tomado inicialmente). Si por el contrario se anula en todo un intervalo cerrado de la forma [a,b], consideramos \alpha(x)=\frac{a+b}{2}.

De cualquier forma hemos obtenido un valor \alpha(x) para cada x de la esfera de forma que el plano P_{\alpha(x)} divide en dos partes del mismo volumen al conjunto A.

Si observamos la función que acabamos de construir:

\alpha : S^2\rightarrow \mathbb{R}

Cumple que es continua y además \alpha(x)=1-\alpha(-x)

Realizando el mismo procedimiento construimos las funciones continuas

\beta,\gamma:S^2\rightarrow \mathbb{R}

Con \beta(x)=1-\beta(-x), \gamma(x)=1-\gamma (-x) y cumpliendo que:

  • P_{\alpha(x)} divide en dos partes iguales a A.
  • P_{\beta(x)} divide en dos partes iguales a B.
  • P_{\gamma(x)} divide en dos partes iguales a C.

Si consideramos a continuación la función:

f:S^2\rightarrow \mathbb{R}^2 definida por f(x)=(\alpha(x)-\beta(x),\alpha(x)-\gamma(x))

Se tiene que esta función es continua por serlo las funciones \alpha, \beta, y \gamma. Además se cumple que:

f(-x)=-f(x)

Como consecuencia del Teorema de Borsuk-Ulam se deduce que existe un punto de la esfera en el que se anula la función, es decir, existe x_0\in S^2 tal que f(x_0)=0.

Entonces tenemos que en dicho punto:

(0,0)=f(x_0)=(\alpha(x_0)-\beta(x_0), \alpha(x_0)-\gamma(x_0))

De donde deducimos que:

\alpha(x_0)-\beta(x_0)=0

\alpha(x_0)-\gamma(x_0)=0

Por lo tanto se cumple que:

\alpha(x_0)=\beta(x_0)

\alpha(x_0)=\gamma(x_0)

Y en consecuencia el plano P_{\alpha(x_0)} divide en dos partes con el mismo volumen a los conjuntos A, B y C.

En 1942 Marshal Stone y John W. Tukey enunciaron el teorema conocido como Teorema de Stone-Tukey que nos dice:

“Dados n objetos en un espacio n-dimensional, existe un hiperplano que los divide a todos en dos partes de igual volumen”

Nótese que si nos referimos a un espacio n-dimensional, un hiperplano tiene dimensión n-1. Este Teorema resuelve el problema del sándwich de jamón y queso, ya que si consideramos como objetos las rebanadas de pan, el jamón y el queso, el teorema nos afirma que existe un hiperplano (en este caso al estar en tres dimensiones, un hiperplano es un plano) que divide en dos partes iguales a todos los objetos, es decir, tendremos el sándwich dividido en dos partes que contienen la misma cantidad de pan, jamón y queso.

Este resultado también nos permite dividir en dos partes exactamente iguales un plato de patatas con jamón y huevo o por ejemplo dividir en dos partes iguales una porción de tarta de tres chocolates.

Pero cuidado, si consideramos platos que tengan más de tres ingredientes este resultado no es cierto, aunque siempre podremos hacer grupos de forma que en cada grupo nos queden tres ingredientes.

AUTOR: FRANCISCO MORANTE QUIRANTES @fdetsocial

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