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6 jul 2015

EL INFINITO: ¿CÓMO ES DE GRANDE?

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El infinito I. La puesta

En esas tardes de verano tan calurosas lo que más te apetecería, con toda seguridad, es una cerveza fresquita en un bar con los amigos y, si esta te sale gratis, ¡mucho mejor!. Conseguir este último hecho es sencillo, simplemente coge el teléfono, queda con tus amigos en el bar de la esquina y una vez allí plantéales el reto siguiente:

  • Me apuesto una cerveza a que soy capaz de escribir cualquier cosa en un metro.
Infinito

“Ciclo infinito de la vida” – Rosalba Muñoz

Frente a esta severa afirmación, vuestros amigos y amigas dirán ¿cualquier cosa?, escribe entonces todas las obras maestras de la literatura española. Las risas de tus amigos y amigas se harán patentes creyendo haber ganado la apuesta y cuando ya casi están llamando al camarero para que les sirvan las cervezas que deberías pagar tu, es entonces cuando llegas  con tus conocimientos matemáticos y  con la solemnidad que te caracteriza, los dejas sin palabras, gracias a los que antaño fueron tus más temidos enemigos, los números reales, y en concreto su infinitud.

Nuestra mente, está estructurada para almacenar, tratar y postular situaciones cotidianas de la vida diaria, que por lo general son finitas. Cuando tiene que enfrentarse a situaciones “no tabuladas” nuestra mente falla al intentar encontrar patrones que previamente tiene almacenados.

El concepto de infinitud es quizás uno de los elementos matemáticos más difíciles de entender por nuestros estudiantes debido a la complejidad que conlleva, no en vano son cientos las “paradojas del infinito” a las que nos enfrentamos cuando trabajamos con dicho concepto, o si no, vamos a pensar un segundo:

¿Existe más de un infinito?, ¿Hay infinitos más grandes que otros?

Un profano en la materia se echaría las manos a la cabeza y diría ¿pero qué estás diciendo?, ¿varios tipos de infinitos? ¿ unos más grandes que otros?, y contestaría :

¡infinito sólo hay uno, el propio nombre lo dice, infinito, que nunca termina!.

Por desgracia (o suerte, según se mire) la respuesta no es tan sencilla como la ve nuestro amigo. El “infinito” es un concepto, no es un número, y contra todo pronóstico, podemos afirmar que no todos los infinitos, “son iguales de grandes”, hay infinitos “mas grandes que otros”.  Y es que cuando se trabaja con el infinito, entramos en una nueva dimensión que choca contra nuestra lógica.

Por ejemplo, si los números naturales son infinitos ( 1, 2 , 3, 4, …) y los enteros también ( -2, -1, 0, 1, 2,..) o los racionales ( -2, -1/2, -1/4,…… 0, ….., 1,…. 3/2) sería lógico pensar que a la vista de la afirmación de los diferentes infinitos, los racionales “contienen más puntos” que los enteros y estos más que los naturales, por lo que evidentemente sería una prueba de que hay infinitos mayores que otros.

Bueno, no corras tanto, ya he dicho que el infinito es una “dimensión desconocida” y nuestra intuición falla. Te va a sorprender lo que te voy a decir, pero la respuesta es NO. Estos tres conjuntos tienen esencialmente, el mismo número de elementos.

Ya puedes cerrar la boca. En próximas entregas intentaré demostrar este hecho de forma sencilla, pero no es el objetivo de hoy. Mi objetivo es que entendieras que el mundo del infinito es sorprendente, y que ,como en muchas facetas de la vida, no debes dejarte llevar por la intuición.

Pero volvamos a nuestra apuesta. Para ganarla, escribamos una tabla como la que muestro, asignando a cada letra o símbolo un par de números (podemos ampliar la tabla tanto como queramos, en concreto hasta 99 símbolos o letras)

Tabla

Pues bien, imaginemos que queremos saber qué punto del metro corresponde con la conocida poesía de la canción del pirata de José de Espronceda:

Con diez cañones por banda, viento en popa a toda vela…

Asignando a cada letra, su correspondiente valor numérico de la tabla anterior, tendremos:

tabla2

Como queremos que esté comprendido dentro del metro, empezamos por “0,” y a continuación escribimos el número determinado por la plantilla anterior.

Por lo tanto el número:  0,031514290409052629030114151405192916151829... representa la obra de Espronceda en la recta real y más en concreto en nuestro metro. Resulta increíble, pero existe una correspondencia biyectiva (ejem, para los profanos quiero decir que existe una correspondencia única entre un punto del metro y la obra ) , haciendo que no haya otro punto en el metro que represente la obra, excepto ese y viceversa.

Regla

Este método también puede utilizarse como medio criptográfico sencillo pero, sobre eso, hablaremos en la próxima entrega.

Ya has ganado tu apuesta. Ahora puedes beberte esa cerveza fresquita gratis, a mi salud.

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