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6 mar 2018

EL PENSAMIENTO DÉBIL IV: LA LÓGICA Y LA ARITMÉTICA

En la lógica y en la aritmética

Ya dijimos en la primera parte de estos ensayos, que hoy vivimos en una época de café descafeinado, de leche descremada y quizá sin lactosa, de cerveza sin alcohol, de edulcorante sin calorías… en un mundo de ideologías, más atento a los eslóganes que a los hechos, en suma, en un mundo light.

El tema que atacaremos ahora es el de concretar las ideas generales expuestas en las entradas anteriores a casos bien concretos, para que el lector pueda bien fijar las ideas de las que hablamos.

En una primera parte concretizaremos la célebre afirmación, ya conocida por los lógicos medievales de que de una contradicción puede seguirse cualquier cosa (“ex contradictione quodlibet”) y deduciremos qué tipo de lógica sea necesaria para escapar a esta “maldición”.

En una segunda parte veremos una aplicación práctica en el campo de la aritmética.

Empecemos:

1.- Ex contradictione quodlibet.

En los sistema estudiados en la primera de estas publicaciones hablábamos de la lógica discusiva de Jaskovski, en la que, efectivamente, podemos tratar la contradicción (entre proposiciones) sin los problemas derivados del principio, Ex contradictione quodlibet. Pero los lógicos contemporáneos han sido más ambiciosos, han querido tratar lógicamente proposiciones autocontradictorias que, ellas mismas, son verdaderas y falsas al mismo tiempo y bajo el mismo aspecto, como decían los medievales. Dichas proposiciones se llaman dialetheias, nombre griego que contiene el prefijo dia- que significa a través, y la palabra aletheia, que quiere decir verdad.

En lógica estándar una proposición así, conduce invariablemente a una explosión, es decir, de una aletheia puede deducirse cualquier cosa y lo contrario de cualquier cosa. Veámoslo concretamente para poder comprender mejor.

pensamiento débil

En esta tabla, D es la representación de la dialetheia, X representa una proposición cualquiera (el quodlibet).

El estudio de esta tabla convencerá al lector que, suprimiendo la regla de inferencia según la cual de A y B puedo deducir A, el paso de la línea 1 a la línea 2 quedaría inválido y el quodlibet no se podría demostrar.

Sin embargo, en vez de empezar por la premisa D y no-D podríamos empezar por las dos premisas: primera, D y, segunda, no-D. con lo que se hace necesario invalidar la regla que nos permite deducir X de 5, es decir, no consideramos válida la inferencia: de (A o B) y no-A => B, entonces toda posibilidad de deducir el quodlibet de una dialetheia, quedaría anulado.

La lógica débil, análoga al pensamiento débil, que usaremos en el dialetheismo no permitirá pues ninguna de las dos deducciones expuestas y, por consiguiente, podremos trabajar con dialetheias sin temor al fenómeno de la explosión, es decir sin temor a que todo y lo contrario de todo sea deducible de nuestras hipótesis o definiciones. Esta afirmación general, expuesta sólo intuitivamente, es demostrable formalmente.

2.- La aritmética finita.

En aritmética, me propongo hacer ver que es posible una aritmética débil en la que muchas, si no todas, la conjeturas que no han podido ser demostradas en la historia de las matemáticas pueden ser demostradas fehacientemente, utilizando una lógica débil para evitar el peligro de la explosión.

Para ello, partiremos de la aritmética de Peano. El profesor Giuseppe Peano, del politécnico de Turín definió la aritmética de los números naturales de una forma que nosotros expondremos sin rigor lógico-matemático para no crear dificultades impropias de este blog.

La base de esa aritmética es la sucesión de los número naturales 0, 1, 2, 3, 4, … dotados de una función siguiente de x, que hace corresponder los números de la siguiente forma:

siguiente(0) = 1, siguiente(1) = 2, etc. Estas definiciones están en consonancia con nuestras ideas intuitivas a propósito de los números.

Prosiguiendo, Peano define la adición de números naturales con los dos axiomas siguientes:

A.-    0 + 0 = 0

B.-    a + siguiente(b) = siguiente(a) + b = siguiente(a + b)

De este modo, se puede definir toda adición de números naturales de forma recursiva. Por ejemplo:

0 + 1 = 0 + siguiente(0) = siguiente(0 + 0) = siguiente(0) = 1

1 + 1 = 1 + siguiente(0) = siguiente(1 + 0) = siguiente(1) = 2

… y así sucesivamente (hemos usado la propiedad conmutativa de la adición, que no es difícil de demostrar a partir de los axiomas de Peano).

Aunque no lo utilizaremos aquí, Peano define la multiplicación de números naturales de la siguiente forma:

0 x n = 0

a x siguiente(b) = a x b + a (con la adición ya definida).

Pues bien, la aritmética que vamos a exponer, puede definirse con los axiomas de Peano, pero con la salvedad de que existe un número, que llamaremos N, siguiente de sí mismo, es decir:

siguiente(N) = N

Y en este caso la sucesión le los números naturales NO es un infinito potencial, como ya viera Aristóteles, puesto que, así definida, en esta aritmética no existen números mayores de N.

En la práctica del cálculo, el número máximo N se escoge muy grande, de tal modo que todos los números que se utilizarán en las aplicaciones serán mucho más pequeños que N. Sin embargo, para fijar ideas, nos centraremos en una aritmética con N = 11.

En este paradigma, se obtendrán cálculos idénticos a la aritmética tradicional mientras estemos alejados del número 11:

6 + 4 = 10,  por ejemplo.

Pero:

11 + 1 = 11 + siguiente(0) = siguiente de (11 + 0) = siguiente(11) = 11.

8 + 4 = 8 + 5 = 11

A pesar de que 4 no es igual a 5. Como se ve, la manipulación algébrica debe hacerse con cuidado, aunque, como decimos, cuando el número N se escoge muy grande, dicha dificultad desaparece en la práctica.

Entonces ¿para qué sirve esta aritmética finita? Para mucho. Por ejemplo, en ella el teorema de Gödel, del que hemos hablado profusamente en el segundo artículo de esta serie, no se cumple, toda proposición, concerniente los números de la aritmética finita, es demostrablemente verdadera o demostrablemente falsa, no hay proposiciones indecidibles (la proposición de Gödel es aquí una dialetheia). Algunas de las conjeturas no demostradas hasta la fecha como, por ejemplo, la conjetura de Goldbach, es fácilmente demostrable en esta aritmética por enumeración completa, cosa imposible en aritmética tradicional, puesto que la serie de los números naturales es potencialmente infinita.

Conjetura de Goldbach (otras formulaciones son posibles):

Todo número par mayor que 2 puede descomponerse en suma de dos números primos.

Esta conjetura no ha podido ser demostrada por nadie hasta la fecha. Sin embargo, tomando N = 400,000,000,000,000 una enumeración exhaustiva es posible usando un ordenador y ha sido realizada por Niels Pipping. Un tal número N tan grande, hace que esta aritmética sea utilizable en la práctica sin ninguna dificultad.

Vemos pues que el terror medieval a la contradicción, llamémoslo así con humor, no es necesariamente una limitación, ya que disponemos de mecanismos ad hoc para tratar de las contradicciones con toda seguridad.

Para el lector interesado en el dialetheismo, le recomendamos la lectura del siguiente libro (en inglés):

Graham Priest: “In contradiction.” Oxford University Press 2006.

En la red se encuentra material abundante sobre este tema, incluidos vídeos de lecciones magistrales sobre esta disciplina apasionante (para mí al menos).

Autor: JULIO MORENO-DÁVILA. 

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