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1 nov 2017

EL PENSAMIENTO DÉBIL (II): LÓGICA MATEMÁTICA

En la filosofía, en la religión y en la lógica matemática

Ya dijimos en la primera parte de estos ensayos puramente introductorios, que hoy vivimos en una época de café descafeinado, de leche descremada y quizá sin lactosa, de cerveza sin alcohol, de edulcorante sin calorías… en un mundo de ideologías, más atento a los eslóganes que a los hechos, en suma, en un mundo light.

La descripción que atacaremos ahora es la del impacto de la idea light en el campo de la lógica y, por ende, en el de las matemáticas y el resultado es verdaderamente sorprendente: ha dado lugar a la llegada de una lógica contradiction tolerant, en la que podemos encontrar afirmaciones vraies en deçà, fausses au delà de Pyrénnées, como decía Blaise Pascal.

Nuestro punto de partida, para explicar lo más simplemente posible estas teorías, será el teorema de Gödel que, como es sabido, reza (informalmente) así:

Teorema de Gödel: en todo sistema formal [1], suficientemente complejo [2] y libre de contradicciones [3], existen afirmaciones que no pueden ser demostradas, ni ellas ni sus contrarias. En consecuencia, una tal afirmación se denomina naturalmente indecidible (unentscheidbar) y el sistema se denomina incompleto [4].

Históricamente esta fue la formulación clásica del teorema de Gödel; sin embargo, para nuestros propósitos nos es útil formularlo de la manera siguiente, totalmente equivalente:

Formulación alternativa del teorema de Gödel: todo sistema formal, suficientemente complejo, o incluye proposiciones indecidibles (es incompleto) o incluye contradicciones (es “contradiction tolerant”) [5].

Como puede verse fácilmente, esta segunda formulación es, como decimos, totalmente equivalente a la primera, pero no se ha considerado históricamente por suponer que poner en plano de igualdad un sistema libre de contradicciones al lado de otro que contiene en su seno alguna contradicción no tiene sentido alguno.

Pero hay más: se supuso en los años 30 que un sistema que admite contradicciones es totalmente inútil o por lo menos sumamente peligroso, siguiendo siempre el ideal platónico de una ciencia pura, infalible y globalizante; y relegando a la simple opinión sin valor científico (doxa) todo lo demás. Justo lo que combate Vattimo.

Peor aún: los lógicos medievales habían demostrado el principio que afirma que ex contradictione quodlibet. Es decir, apenas un sistema formal contiene una sola contradicción, las contiene absolutamente todas. Se trata de una sistema llamado banal en el cual puede demostrarse todo y lo contrario de todo. Es evidente que un sistema lógico banal es completamente inútil para una aplicación científica o filosófica cualquiera.

Se plantea inmediatamente una pregunta: ¿sería posible un sistema completo pero no banal? Es decir, ¿sería posible un sistema con contradicciones pero no banal? Sería un sistema en el que se podría sacar partido del hecho de ser completo, es decir, de que todas sus afirmaciones con sentido fueran demostrablemente verdaderas o demostrablemente falsas, al precio de incluir algunas contradicciones, quizás, relegadas a una parte poco importante del sistema. ¿Sería posible dicho ideal? En otras palabras ¿es posible escapar al carácter explosivo [6] de la contradicción en un sistema formal? Construyendo acaso una especie de cordón sanitario alrededor de las inevitables contradicciones (dado que el sistema sería completo y, por ende, según Gödel, contradictorio) sin que contaminasen la totalidad.

La respuesta es simple: si nos limitamos a deducir nuestros teoremas a partir de los axiomas usando la lógica formal estándar [7], ello no es posible, como demostraron ya los medievales. Una vez más ex contradictione quodlibet.

Pero ¿es verdaderamente necesario usar una lógica fuerte, aristotélica?

La respuesta es no. En este mundo dominado por la leche desnatada, el café descafeinado, el edulcorante sin calorías, también ha sido posible crear lógicas “descafeinadas” (débiles), lógicas menos potentes que la lógica estándar; sistemas de deducción que no llegan tan lejos como el sistema formal aristotélico y que, por consiguiente pueden, al menos en principio, eliminar el carácter explosivo de una contradicción.

Nótese que el teorema de Gödel (en su segunda formulación) sigue siendo válido, incluso, en el ámbito de una lógica débil, pues se aplica a todo sistema formal suficientemente complejo. Y es difícil darse cuenta de la potencia y de la universalidad de una afirmación que debemos a uno de los lógicos más capaces de la historia de la humanidad.

Aún usando una lógica débil como método de deducción de teoremas a partir de un conjunto de axiomas, estamos en presencia de un sistema formal que suponemos suficientemente complejo, única condición gödeliana del célebre teorema para su validez.

El sistema de lógica discusiva de J.: el lector puede imaginarse que según los autores y según los problemas concretos que se trate de resolver, las lógicas débiles utilizadas para obtener una matemática de tipo contradiction tolerant, son variadas. Como ejemplo y para trazar un paralelo con el sistema ético-político de Theodor W. Adorno, citado en la colaboración precedente, descrito en la introducción del libro del profesor de Turín, daremos una descripción no técnica del sistema lógico de J. (discussive paraconsistent logic).

Al final de los años 80 se realizó un experimento en la École de Hautes Études Comerciales de Lausana en Suiza [8] en la que se quisieron plasmar los conocimientos macroeconómicos de un grupo importante de sujetos, de filósofos platónicos diría Vattimo, con el fin de crear un sistema experto en economía política que recogiera el saber del grupo con el fin de hacer previsiones macroeconómicas. Una experiencia que hubiera interesado al alumno de Gadamer, a tenor del ambiente en el que se desarrolla Addio a la Verità.

Como puede imaginar el lector, una vez codificados uno por uno los principios de base del saber concreto de estas personas, se encontraron muchísimas contradicciones, quizás no siempre atribuibles al error, pues como dice Vattimo la economía política no es una ciencia. La confección de un sistema automático de ayuda a la decisión, es decir de deducción a partir de estos principios, usando la lógica estándar, habría justificado cualquier conclusión y su contraria [9].  Para obtener resultados utilizables en un tal experimento, se podría haber utilizado el sistema de J., desarrollado en 1948 [10] u otros análogos.

S. J. partió de un sistema lógico ideado por Aristóteles: la lógica modal. Como es sabido, en los Primeros Analíticos el Estagirita introduce los conceptos de la lógica modal, la cual se interesa más por el modo en el que ciertas afirmaciones son verdad, que por su verdad misma. Esta lógica modal ha sido completada y desarrollada extensivamente en el s. XX, su bibliografía es hoy muy extensa [11].

Desde el punto de vista semántico, los modos por los que, en lógica modal, una proposición puede ser verdadera o falsa pueden tener diversas interpretaciones. Por ejemplo, en lógica óntica, una proposición puede ser necesariamente verdadera (o necesariamente falsa) o sólo accidentalmente verdadera (o falsa); en lógica epistémica una afirmación puede ser demostrablemente verdadera o posiblemente verdadera; o bien en lógica deóntica una afirmación puede ser obligatoria o permitida; en lógica temporal siempre cierta o falsa,  o a veces cierta o falsa; en lógica doxástica una proposición puede ser creída por todo el mundo o sólo por algunos;  etc.

Estos sistemas lógicos están perfectamente formalizados, por lo que es relativamente fácil moverse, desde el punto de vista deductivo, al interior de los mismos. Dado un conjunto de axiomas o principios de base, los métodos de deducción están perfectamente investigados y no plantean ningún problema mayor.

J. estudia personas o grupos de personas con ciertas convicciones, que varían a veces de grupo en grupo. Él supone que al interior de cada grupo dichas afirmaciones son coherentes mientras que las contradicciones entre grupos son posibles y quizá abundantes. La idea fundamental de J. consiste en  encontrar un sistema de “traducción” (son sus palabras) que, partiendo de las proposiciones de un grupo, lleguemos a proposiciones modales del tipo “localmente verdadero” y/o “universalmente verdadero”.

De esta manera, utilizando el formalismo de uno de los sistemas modales [12], el lógico polaco puede manipular formalmente proposiciones localmente verdaderas o falsas. De esta forma, construye una lógica discusiva  en la que lo análogo al “todo” de Adorno (las proposiciones globales, no solamente locales) son contradictorias aunque no banales, es decir son falsas globalmente, lo que no excluye que “localmente” puedan ser verdaderas o falsas y podamos trabajar sin miedo a banalizar el sistema.

Es también posible demostrar que en el sistema de J. la contradicción no es explosiva, no acarrea la banalidad del sistema. Para ello J. redefine la inclusión (a & b) y la implicación (c => d) haciéndolas más débiles. Por ejemplo, de las premisas a es verdadera y b es verdadera no se puede deducir que a & b sea una proposición verdadera.

Evidentemente, estas afirmaciones pueden parecer gratuitas y, de hecho lo son en este pequeño trabajo. La demostración rigurosa de estos resultados es un problema técnico no demasiado complejo para el que esté al tanto de los entresijos de la lógica modal, persona que no representa al lector para el que es este ensayo fue escrito y que puede siempre referirse a la bibliografía a pie de página [13].

De todas maneras, este primer (cronológicamente) sistema carece de algunas características deseables en lógicas débiles más radicales. Por ejemplo, no se puede trabajar en lógica discusiva con proposiciones que sean simultáneamente verdaderas y falsas. Estas proposiciones se llaman técnicamente dialetheias [14].

Después de lo dicho, resulta bastante evidente el paralelismo entre la lógica discusiva de J.  y los principios de base y el ambiente general de las teorías filosóficas de Gianni Vattimo. Curiosamente, como tantas veces ocurre en la historia del pensamiento humano, se llega a las mismas conclusiones y metodologías por caminos diferentes. La diferencia esencial con el pasado consiste en que hoy día el corpus de conocimiento es talmente extenso que es muy difícil encontrar personas que estén al tanto de estos dos dominios, el de la lógica formal y el de las tendencias de la filosofía postmoderna.

[14] Para una buena introducción al dialetheismo véase: Priest G. Et Al. The law of non-contradiction. Oxford University Press. 2004.

Notas del autor:

[1] Conjunto de axiomas y de métodos de deducción de teoremas a partir de los axiomas

[2] De complejidad equivalente al menos a la de la aritmética

[3] No se puede demostrar (deducir de los axiomas) una afirmación y su contraria

[4] Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I. Monatshefte für Mathematik und Physik 38: páginas 173-98.

[5] Es decir, algunas de la consecuencias lógicas de los axiomas están en contradicción con otras consecuencias también válidamente deducidas.

[6] Se dice que la contradicción tiene un carácter explosivo puesto que una sola contamina todo el sistema llenándolo de contradicciones. Ex contradictione quodlibet.

[7] Lógica aristotélica con las aportaciones contemporáneas de Frege, Russsell, etc.

[8] Alex I. Horvitz, comunicación personal

[9] El presidente Richard Nixon decía que buscaba un consejero económico manco, es decir un experto que después de hacer su previsión no dijera: “on the other hand…”

[10] S. J.: On the Discussive conjunction in the Propositional Calculus for Inconsistent Deductive Systems. Logic and Logical Philosophy, 7 (1999) 57-59. Las publicaciones originales de Ja?kowski son muy anteriores pero, al estar todas escritas en polaco, no fueron muy accesibles al mundo occidental.

[11] Para una introducción a la lógica modal, véase por ejemplo: George Boolos, An incomplete system of modal logic. Journal of Philosophical Logic, 1985, Volume: 14

[12] Issue 4, 351-358 . George Boolos, Giovanni Sambin: Journal of Philosophical Logic, 1985, Volume: 14, Issue 4, 351-358

[13] Para el lector ducho en estos temas, se trata del sistema llamado técnicamente S5

[14] Para una buena introducción al dialetheismo véase: Priest G. Et Al. The law of non-contradiction. Oxford University Press. 2004.

Ir ahora al siguiente artículo del pensamiento débil en la religión.

Autor: JULIO MORENO-DÁVILA. 

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