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26 jul 2017

EL TEOREMA DE PICK

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Calcula el área de un terreno poligonal cuadriculable con un puñado de puntos.

Un problema típico que se suele poner en los primeros cursos de la ESO cuando estudiamos la geometría es el cálculo de áreas de figuras dando una cuadrícula como el que aparece en la siguiente figura:

Pick01

En principio, la forma de hacerlo parece obvia, descompondremos la figura en cuadrados, rectángulos y triángulos y hallaremos las áreas por separado de estas divisiones, utilizando para ello los cuadrados del dibujo para hacernos una idea de las medidas. En principio con eso bastaría, no necesitamos hacer uso de teoremas como el de Pitágoras, ya que los triángulos que nos aparecen son rectángulos y sólo necesitamos la base y la altura para el área, algo que es bastante fácil de hallar utilizando la cuadrícula que nos ofrece el propio dibujo. Pero, ¿sería posible calcular esta área de una forma más sencilla sin necesidad de dividir la figura?

La respuesta a esta pregunta la dio el matemático austríaco de ascendencia judía Georg Alexander Pick (1859-1942), quien dio una elegante fórmula que hoy día lleva su nombre y que permite calcular este tipo de áreas utilizando sólo los puntos de la cuadrícula.

En concreto el Teorema de Pick nos  afirma  que el área de una red poligonal P viene dada por:

P=I+\frac{B}{2}-1

donde:

I es el número de puntos interiores.

B es el número de puntos enteros sobre la frontera del polígono.

Para comprobarlo de una forma práctica, consideremos el ejemplo de partida. En él hay un total de 11 puntos de la cuadrícula que son interiores a la figura:

pick02

También hay un total de 17 puntos de esta malla que están sobre el borde de la figura.

pick03

Por tanto el Teorema de Pick nos afirma que su área viene dada por:

P=11+\frac{17}{2}-1=18,5u^2

Donde la unidad cuadrada de medida es el cuadrado de la malla.

En efecto, si calculamos el área de esa figura el resultado es 18,5 unidades cuadradas. En este caso se muestra su área calculada con el programa geogebra.

pick04

A continuación daremos los pasos necesarios para la demostración de este Teorema. En primer lugar sabemos que todo polígono se puede triangular, por lo que parece lógico que comencemos probando que el Teorema de Pick se cumple para triángulos.

Vamos a comenzar demostrando que se cumple para un caso muy particular de triángulo, el triángulo rectángulo que tiene dos catetos sobre la poligonal.

Teorema 1: el teorema de Pick se cumple para triángulos rectángulos que tienen dos catetos sobre la poligonal.

Supongamos que un cateto tiene longitud m y el otro longitud n, entonces el número de puntos que habrá sobre las mallas son m+1 y n+1 respectivamente, aunque uno de ellos será común a ambos catetos por lo que sólo podemos contarlo una sola vez.  También tenemos que tener en cuenta que la diagonal puede contener puntos de la malla. Notaremos por k al número de puntos que contiene la diagonal. Ésta contiene al menos dos puntos que están sobre uno de los catetos, que habrá que tenerlos en cuenta.

pick 05

El área del triángulo será A=\frac{mn}{2}

Según el Teorema de Pick, tendremos:

  • Número de puntos que están sobre el borde de la malla B=m+n+1+k-2=m+n+k-1,
  • Número de puntos interiores I

Si consideramos el rectángulo cuyos lados son los catetos del triángulo

pick 06

Como sus lados tienen longitudes m y n respectivamente, el número de puntos interiores y en el borde será (m-1)(n-1)

Por tanto como el triángulo es la mitad del rectángulo, el número de puntos interiores será

I=\frac{(m-1)(n-1)-k}{2}

Por tanto el Teorema de Pick nos dice que el área del triángulo viene dada por:

A=I+\frac{B}{2}-1=\frac{(m-1)(n-1)-k}{2}+\frac{n+m+k-1}{2}-1=

=\frac{mn-m-n+1-k+n+m+k-1}{2}-1=\frac{mn}{2}

Que coincide con el área del triángulo, por lo que el Teorema de Pick es cierto para triángulos rectángulos cuyos catetos estén sobre los cuadrados de la malla.

Ahora nuestro objetivo es demostrar el Teorema para un triángulo en general. Pero para ello todavía tenemos que dar algunas demostraciones previas.

Teorema  2: Demostraremos a continuación que si P (polígono violeta) y Q (polígono marrón) son dos polígonos con interior disjunto y un lado común que verifican la fórmula del Teorema, entonces en el polígono PQ se cumple el Teorema de Pick.

Llamaremos I_1 al número de puntos de la malla interiores a P, B_1 al número de puntos de la malla que están en el borde de P. De igual forma llamaremos I_2 al número de puntos de la malla interiores a Q, B_2 al número de puntos de la malla que están en el borde de Q.

Es obvio que el área del polígono PQ será la suma de las áreas de los polígonos P y Q. Veamos si cumple el Teorema de Pick

Como P y Q comparten una arista, denotamos por m al número de puntos de la malla que están en la arista común de P y Q.

Entonces:

  • El número de puntos de la malla interiores al polígono PQ será I_1+I_2+m-2. Nótese que la arista común, pasará a ser parte del interior del polígono PQ.
  • El número de puntos de la malla en el borde de PQ será B=(B_1-m)+(B_2-m)+2

Entonces

I+\frac{B}{2}-1=(I_1+I_2+m-2)+\frac{B_1+B_2-2m+2}{2}-1=

=I_1+I_2+m-2+\frac{B_1}{2}+\frac{B_2}{2}-m+1-1=

=(I_1+\frac{B_1}{2}-1)+(I_2+\frac{B_2}{2}-1)=Area(P)+Area(Q)=Area(PQ)

Por tanto se cumple el Teorema de Pick en el caso de dos polígonos con interior disjunto y una arista en común.

pick 07

Teorema 3: La fórmula es válida para rectángulos con lados horizontales y verticales.

En este caso la demostración es sencilla, ya que el área del rectángulo se puede calcular contando los cuadrados de la malla.

Teorema 4:  Si T es un triángulo cualquiera se cumple el Teorema de Pick.

Para demostrar este  resultado, tenemos que pensar en los tipos de triángulos que pueden aparecernos.

Caso 1: Si el triángulo es rectángulo con catetos sobre la malla. Este caso está probado en el primer teorema.

Caso 2: Si el triángulo tiene un único lado horizontal o vertical sobre la malla.

pick 08

Supongamos que el triángulo es ABC, que tiene un lado horizontal AB. Construimos el rectángulo ADCE que contiene al triángulo de partida.

Si notamos P(ADCE) al área que nos da el Teorema de Pick en el polígono ADCE, tenemos que:

P(ADCE)=P(AEC)+P(ACB)+P(BDC)

Ya que son polígonos con interior disjunto y una arista en común por el Teorema 2.

El área del rectángulo se puede descomponer como

Área(ADCE)=Área(AEC)+Área(ACB)+Área(BDC)

Es decir el área del rectángulo se puede calcular como suma de las áreas de los tres triángulos que lo forman.  Dos de estos triángulos son rectángulos con catetos sobre la malla, por lo que en ambos se cumple el Teorema de Pick, y en el rectángulo también se cumple el Teorema de Pick por el resultado anterior.

Entonces tenemos que:

Área(ADCE)=P(ADCE)

Área(AEC)=P(AEC)

Área(BDC)=P(BDC)

Entonces sustituyendo en la expresión anterior se tiene que Área(ACB)=P(ACB), por lo que se cumple la fórmula de Pick en el triángulo ACB.

Caso 3: Si el triángulo no tiene ningún lado horizontal ni vertical sobre la malla.

pick 09

En este caso construimos un rectángulo de la siguiente forma:

pick 10

Razonando de forma similar al caso anterior se prueba que la fórmula de Pick es cierta para también para este tipo de triángulos.

Por lo tanto se cumple el Teorema de Pick para cualquier triángulo.

Una vez probada esta serie de resultados, tenemos que el Teorema de Pick es válido para cualquier triángulo y para la unión de polígonos con lados comunes siempre que en ellos se cumpla el Teorema. Como podemos triangular cualquier polígono mediante triángulos, tendremos probado este teorema.

AUTOR: FRANCISCO MORANTE QUIRANTES @fdetsocial

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