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17 abr 2018

¿Por qué explicamos mal el concepto de derivabilidad?

El concepto de derivada de una función y sus propiedades se estudian con bastante amplitud en primer curso de bachillerato tanto en la materia de matemáticas I como en matemáticas aplicadas a las ciencias sociales. Por increíble que pueda parecer a estas alturas, la forma en que estudiamos (o explicamos) la derivabilidad de una función (incluso, si seguimos libros de texto) puede ser errónea  pero, vayamos por partes.

La derivada de una función en un punto se puede interpretar como la pendiente de la curva en dicho punto, esto es, como la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto.

Recta que pasa por los puntos (a,f(a)), (x,f(x))

Recta que pasa por los puntos (a,f(a)), (x,f(x))

Supongamos que tenemos una función y=f(x) y pretendemos hallar la recta tangente en el punto (a,f(a)) de dicha función.  Pierre Fermat, primero y Newton, después, idearon un método para hallar la pendiente de la recta tangente. El método consistía en ir aproximando la recta tangente mediante rectas secantes cuyas pendientes sí pudieran calcularse directamente.

Si consideramos el punto (a,f(a)),  y consideramos un punto cercano a éste, pongamos (x,f(x)), entonces la pendiente de la recta que pasa por ambos puntos será:

\frac{f(x)-f(x)}{x-a}

De esta forma cuando x se aproxima al punto a, tendremos la pendiente de la recta tangente. Dicho de otra forma, la pendiente de la recta tangente vendrá dada por:

lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(x)}{x-a}

En caso de que este límite exista.

Este es nuestro punto de partida para realizar la definición de derivada, puesto que: se dice que una función f:I\rightarrow R es derivable en un punto a\in I, si existe el límite anterior y en dicho punto a su valor se le denota por f´(a).

 f '(a):=lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(x)}{x-a}

Más concretamente, f es derivable en x=a, si existe un número real L\in R cumpliendo que para cada número \epsilon >0, \exists \delta>0, tal que para todo x\in I con x\neq a y |x-a|<\delta se tenga que:

|\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-L|<\epsilon

A este número lo denotamos por L=f´(a) y se denomina derivada de f en x=a, según la notación de Lagrange.

Una vez definida la derivada de una función en un punto, podemos decir que dada una función f:I\rightarrow R, ésta es derivable en I, si lo es en cada punto de dicho intervalo. A la función definida por f':I\rightarrow R que asocia a cada elemento x, con f´(x) se le llama función derivada de f.

Una cuestión esencial es que toda función derivable en un punto x=a, es continua en dicho punto, sin embargo el recíproco, como bien sabemos, no es cierto.

Pensemos a continuación en las funciones definidas a trozos:

f(x)= \left\{  \begin{array}{cc}  f_1(x) & x<a \\  f_2(x) & x\geq a \\  \end{array}  \right.

En este caso, si la función f_1(x) es derivable en (-\infty,a), evidentemente, hace que la función f(x) sea derivable en ese intervalo. De igual forma ocurre con la función f_2(x). Si ésta es derivable en , entonces la función f(x) también lo será.

Pero ¿qué ocurre en el punto x=a?, ¿cómo estudiamos la derivabilidad en dicho punto?

Lo razonable sería utilizar la definición de derivada, es decir estudiar si existe el límite

lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}

Y como en dicho punto la función cambia de criterio, tendríamos que estudiar los límites laterales. De forma que, si éstos coinciden, la función será derivable en dicho punto, con derivada el valor del límite y si no coinciden la función no será derivable en dicho punto.

Un error habitual al estudiar la derivabilidad de esta función en x=a  está en realizar:

f'(x)= \left\{  \begin{array}{cc}  f'_1(x) & x<a \\  f'_2(x) & x> a \\  \end{array}  \right.

Obsérvese que se ha eliminado el “\geq” por “>” ya que la existencia de la derivada no está asegurada en x=a.

 Para estudiar la derivabilidad en muchas ocasiones se realiza:

lim_{x\rightarrow a^{+}}f'(x)

lim_{x\rightarrow a^{-}} f'(x)

Con lo que en realidad no se está estudiando la derivabilidad de la función en ese punto, sino si la función derivada es continua en dicho punto.

Ahora cabe preguntarse si los límites anteriores coinciden, es decir si la función derivada es continua en dicho punto, ¿existe?,  es decir, si el límite obtenido es L, ¿podemos afirmar que f´(a)=L?

La respuesta, como todos sabréis, es negativa. Pongamos un sencillo ejemplo que lo aclare:

Consideramos la función:

f(x)= \left\{  \begin{array}{cc}  1& x<1 \\  2 & x\geq 1 \\  \end{array}  \right.

Gráfica de la función

Gráfica de la función

En este caso, obviamente, la función ni siquiera es continua en x=1, por lo que no es derivable (recuérdese aquí que toda función derivable en x=a es continua en dicho punto). Sin embargo si nos atrevemos a estudiar la derivada de la forma en la que hemos mencionado anteriormente, haríamos:

f'(x)= \left\{  \begin{array}{cc}  0& x<1 \\  0& x\geq 1 \\  \end{array}  \right.

Evidentemente los límites laterales de esta función coinciden, es decir:

lim_{x\rightarrow 1^{+}} f'(x)=0

lim_{x\rightarrow 1^{-}} f'(x)=0

Pero no podemos afirmar que la función sea derivable en x=1.

Aunque estudiar la derivabilidad de una función a trozos es algo sencillo y habitual en bachillerato, sobre todo en el segundo curso y en la mayoría de ocasiones los límites laterales de la derivada coincide con el valor de la derivada de la función en dicho punto, este hecho no debe convertirse en regla  y aunque puede ser usado aisladamente no debe convertirse en la regla mediante la cual se estudie la derivabilidad en este tipo de funciones  si no queremos llevarnos sorpresas como la que ilustra este sencillo ejemplo.

 AUTOR: FRANCISCO MORANTE QUIRANTES @fdetsocial

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