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6 sep 2017

FÍSICA ESTADÍSTICA PARA ESTUDIAR EL TRÁFICO

La Física Estadística es una rama de la Física que, mediante técnicas probabilísticas, es capaz de deducir el comportamiento de los sistemas físicos macroscópicos constituidos por una cantidad estadísticamente significativa de componentes a partir de ciertas hipótesis sobre los elementos que los conforman y sus interacciones mutuas (microfísica). Pero su utilidad sobrepasa ampliamente el ámbito de la Física, permitiendo describir numerosos fenómenos de naturaleza estocástica, como la Economía, la Sociología, la Biología, etc.

tráfico en una autopista: física estadística

Figura 1: tráfico en una autopista

Esto es debido a una propiedad de la naturaleza que llamamos universalidad: el mundo macroscópico es insensible a muchos detalles de los niveles más fundamentales. Así es posible explicar el comportamiento de un gas, el tráfico de vehículos en una autopista, el movimiento de una bandada de aves, o la formación de galaxias de manera muy similar. A continuación expondremos un ejemplo que exhibe esta propiedad.

Tráfico en una autopista

Los autómatas no fueron tomados en serio por la Física hasta el año 1986, cuando se demostró que el modelo de gas reticular (un tipo de autómata) contenía todo lo esencial para explicar una situación hidrodinámica compleja. Sorprendentemente, este modelo recuerda el tráfico de vehículos en una autopista. No parece razonable suponer que los conductores se comporten como las partículas en un gas, pero como ya hemos apuntado, muchos de los detalles “microscópicos” resultan irrelevantes a la hora de explicar el comportamiento global de un sistema (en este caso, una autopista con vehículos circulando).

Consideremos una carretera de un solo carril, que suponemos cerrada, formando una circunferencia. La dividimos en celdas iguales de longitud h, y al azar, colocamos un vehículo en algunas de ellas hasta lograr una cierta densidad . El estado de cada “partícula” viene determinado por dos funciones:

  • La distancia o número de celdas vacías hasta la precedente, d.
  • La velocidad o número de celdas que ha recorrido desde la última actualización, v\in 0,1,\cdots, v_{max}.

Consideremos una configuración inicial aleatoria, y en cada intervalo de tiempo actualizamos todas las posiciones, t\rightarrow t+n\tau, x\rightarrow x+v\tau, calculando las velocidades según las siguiente reglas:

  • Si v<d y v<v_{max} el vehículo acelera en una unidad,v\rightarrow v+1 , pues hay espacio para ello. Estamos por tanto suponiendo que se conduce tan rápido como sea posible, pero sin sobrepasar la velocidad máxima v_{max}.
  • Si v\geq d, el vehículo frena, v\rightarrow d-1, para evitar la colisión.
  • Si v\geq 0, el vehículo frena v\rightarrow v-1, con cierta probabilidad p. Esto simula diversos efectos: respuestas al trazado, las condiciones climáticas, el estado de la carretera, etc.

Se trata pues de un proceso estocástico discreto a tiempo discreto, que se hace determinista en el límite p\rightarrow 0. La magnitud que nos interesa medir (para la predicción de atascos, etc) es el flujo total de vehículos, q=k\overrightarrow{v}, siendo \overrightarrow{v} la velocidad media de los vehículos.

Pues bien, este sencillo modelo permite predecir propiedades concretas del tráfico. En la Figura 2 presentamos los resultados de una simulación por ordenador, con 0<p<1  en el que podemos observar cómo varía el flujo con la densidad u ocupación de vehículos:

física estadística

Figura 2: variabilidad del flujo circulatorio con la densidad y la ocupación

Cuando la densidad  es pequeña, el tráfico es libre (circulación sin problemas), y el flujo aumenta linealmente con k. Pero existe un límite de densidad de ocupación, a partir del cual el flujo no sólo no aumenta sino que disminuye, respondiendo a una fase de tráfico congestionado. Una peculiaridad de esta región de valores de k, en la que q(k) tiene pendiente negativa es que, las perturbaciones locales de la densidad o en la velocidad media se propagan en sentido contrario al flujo. Este efecto, conocido como ondas de tráfico, resulta familiar para muchos conductores.

Modelos de varios carriles

El autómata que acabamos de presentar reproduce las propiedades básicas del tráfico real. Pero también puede completarse con otras reglas necesarias para describir otras situaciones más complejas, como por ejemplo, la incorporación de varios carriles en la autopista, que permita adelantamientos. La fenomenología que aparece resulta muy rica e interesante, y es cualitativamente idéntica a la que surge en los cambios de fase de una sustancia. Así, los correspondientes modelos sugieren tres fases distintas de tráfico: libre, sincronizado y atascado.

física estadística

Figura 3: análisis gráfico de distintos escenarios de flujo

En la fase libre los adelantamientos son permitidos en cualquier momento, y cada carril está caracterizado por una cierta velocidad media. Pero a medida que la densidad aumenta se tiende a un tráfico más congestionado donde puede haber sincronización (los vehículos en carriles distintos se mueven con velocidades medias muy parecidas, y es difícil adelantar) y atascos. En analogía con los estados de la materia, no suele pasarse directamente de la fase libre (gas) a la atascada (sólido), sino que se hace a través de la fase sincronizada (líquido). Por otra parte, la mayoría de los comportamientos extraños y complicaciones del flujo sincronizado son manifestaciones de que el sistema se encuentra en estado crítico (Figura 3). En este caso, se tendría, a densidades bajas, un régimen homogéneo en el que sólo hay tráfico libre, y otro heterogéneo a densidades altas, caracterizado por una coexistencia de tráfico libre y atascos. En la transición habría una gran tendencia de los vehículos a agruparse (como las gotas de un líquido en el punto crítico) y, si el sistema es suficientemente grande (autopista muy larga con muchos carriles), aparecerán atascos de cualquier tamaño (característica del punto crítico).

El análisis detallado de estos modelos puede ayudar a mejorar el comportamiento de los conductores frente a una situación tráfico denso, y a los ingenieros a diseñar nuevas vías más eficaces contra los tan indeseables atascos.

Autor:  Daniel de la Fuente Benito

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Referencias:

MARRO, J.: “Física y vida”, Ed. Crítica, Barcelona, 2008.

CHOUDHURI, D., SANTEN, L., SCHADSCHNEIDER, A.: “Statistical Physics of vehicular traffic and some related systems”, Physics Reports, 329, 199 (2000).

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