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25 oct 2015

GEOMETRIA FRACTAL: MATEMATICAS DE LA NATURALEZA

GEOMETRIA FRACTAL, DEL MICROSCOPIO A CONTINENTES

Cuando pensamos en geometría nos acordamos de todas esas formas que hemos visto en libros de texto: conos, esferas, triángulos, cuadrados… Pero, en la realidad, ¿cuántas veces hemos encontrado de forma natural un objeto con esa forma? ¿Montañas perfectamente cónicas? ¿Piedras perfectamente esféricas? Sin embargo encontramos otras peculiaridades en diversos elementos de la naturaleza. Figuras que se repiten continuamente como el dibujo que observamos en la superficie de un brécol, un copo de nieve a vista de microscopio, o la red de venas y arterias de un ser humano. Todos estos elementos de la naturaleza y muchos más obedecen a una estructura que matemáticamente conocemos como “fractal”. La geometría fractal se encarga, precisamente, del estudio de dichos elementos.

Geometría fractal en brotes de brécol

Geometría fractal en brotes de brécol

Matemáticamente, son objetos que parten de una fórmula sencilla hasta alcanzar un nivel de complejidad altísimo. Además verifican ciertas propiedades como la autosemejanza, esto es, si tomamos una parte del fractal y aumentamos su tamaño veremos la misma estructura que al observar el fractal en sí. Esta característica es lo que hace de ellos una figura infinita. Aunque probablemente llame más la atención el hecho de su dimensión, lo que se conoce como “dimensión fractal”.

Hasta su descubrimiento, el hombre siempre ha creído moverse en 3 dimensiones, tres coordenadas por las que determinar un punto en el espacio. Así la dimensión 1 será una recta, y la dimensión 2 un plano. Entonces irrumpe el concepto de fractal de la mano del señor Benoît Mandelbrot y establece que los fractales tienen dimensión no entera. Así, un copo de nieve tiene dimensión 1.2618 a mitad de camino entre la recta y el plano.

Benoît Mandelbrot

Geometría fractal: Benoît Mandelbrot

Podemos entender esto de la siguiente forma: Imaginad que queremos medir un litoral. Si usamos los kilómetros para medirlo probablemente cometamos un error de unos cuantos metros. Si lo volvemos a medir con metros cometeremos un error de unos pocos centímetros. Si continuamos disminuyendo la escala de la regla con la que medimos podremos considerar, cada vez, más recovecos del litoral, pequeñas entradas, muescas, etc. De esta forma concluiríamos que el litoral tiene dimensión infinita. Con este planteamiento comienza uno de los libros de Mandelbrot (How long is the coast of Britain?) y de este problema y muchos otros se encarga la geometría fractal. La conclusión sobre estos objetos es cuanto menos peculiar: figuras de área finita y longitud infinita.

Geometría fractal: how long is the coast of Britain Benoît Mandelbrot

Geometría fractal: how long is the coast of Britain

Un ejemplo típico de fractal es la representación del conjunto de Mandelbrot, dicho objeto se construye mediante un algoritmo sencillo: Tomar un número complejo fijo z del conjunto de números complejos C, elevándolo al cuadrado y sumándole el propio número.

Obtenemos así la sucesión:

FRACTAL 3

Mediante un ordenador podemos programar dicha recurrencia y representarlos en un plano. De esta manera obtenemos la siguiente imagen:

Geometría fractal: Representación del conjunto de Mandelbrot

Geometría fractal: Representación del conjunto de Mandelbrot

Ahora que conocemos un poco más a los fractales podemos hablar de sus aplicaciones a la vida real. En la actualidad, la geometría fractal es un campo matemático de investigación que crece a gran ritmo. Por ejemplo, permite comprimir imágenes para que ocupen más espacio mediante programas de ordenador; tiene también un importante papel en los efectos especiales del cine ya que mediante estructuras fractales podemos crear paisajes y escenarios muy semejantes a la realidad. En el campo de la biología también tiene su papel, como ya hemos mencionado, en el cuerpo humano e incluso en la genética podemos encontrar objetos que responden a una estructura fractal. En un ámbito más matemático permiten también resolver complejos sistemas de ecuaciones de grado 2 y superiores. Y debido a su peculiar atractivo artístico se usan también en este campo que abarca la belleza y los sentimientos: el arte.

Geometría fractal: representación artística

Geometría fractal: representación artística

Geometría fractal: la belleza de un copo de nieve

Geometría fractal: la belleza de un copo de nieve

Mandelbrot afirmaba que desde los átomos hasta las galaxias existía una semejanza con estas figuras, que el universo en sí se regía por un estructura fractal. Esto no quiere decir que el sentido de la vida se esconda en las matemáticas, que el secreto de la madre naturaleza descanse en un algoritmo repetitivo pero desde luego da qué pensar. Lo que es seguro es que después de esto no podemos negar el papel de las matemáticas en el mundo, una ciencia que en más de una ocasión hemos dudado de su utilidad más allá del cálculo y que, sin embargo, no deja de sorprendernos.

Autor: JAVIER GÓMEZ LÓPEZ

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