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12 abr 2017

GPS, ¿CÓMO LOCALIZA NUESTRA POSICIÓN?

LAS MATEMÁTICAS TRAS EL GPS

El sistema GPS (Global Positioning System) fue desarrollado en los años 90 con fines militares en EEUU pero actualmente cualquier persona que posea un smartphone puede acceder y disfrutar de esta tecnología. A pesar de que pueda parecer algo extremadamente complejo, su funcionamiento es muy simple y puede entenderse con los conocimientos matemáticos más básicos.

FUNCIONAMIENTO DEL GPS

El GPS ha llegado a instaurarse como una aplicación habitual en nuestra vida diaria

El objetivo del GPS no es otro que conocer cuál es la posición del usuario que posee el receptor de señal GPS (ya sea un smartphone o un dispositivo específico). Para estimar su posición, el receptor se sirve de las señales enviadas por diversos satélites. Podemos pensar que cada satélite le da una “pista” de la localización actual del usuario y, con el número adecuado, el dispositivo podrá realizar una serie de cálculos geométricos que le proporcionarán una estimación de la localización.

Un satélite envía cada milisegundo una señal especial llamada efeméride que contiene, entre otros datos, la hora a la cual la señal ha sido transmitida y la localización del propio satélite. Esa señal será recibida por el dispositivo del usuario que conociendo el instante en el que la señal ha sido transmitida y en el que ha sido recibida puede calcular con una simple resta cuánto tiempo ha tardado en llegar al receptor.

Una vez el tiempo es conocido, podemos calcular la distancia a la que se sitúa el satélite con tan solo realizar el producto de la velocidad de propagación de la señal y el tiempo  de la misma. Esto nos dará que el receptor está situado en algún punto de una esfera con centro la localización del satélite y radio la distancia hallada. Si la localización del satélite 1 es (x_{s1},y_{s1},z_{s1})  y la distancia calculada es  d_1 , las coordenadas del satélite (x,y,z)  deberán cumplir:

(x_{s1}-x)^2+(y_{s1}-y)^2+(z_{s1}-z)^2=d_1^2

Obviamente, esto no es suficiente para conocer la localización del receptor. Para poder saberlo, se usarán más satélites para obtener más ecuaciones. Cuando tengamos tres datos de tres satélites distintos, contaremos con el sistema:

(x_{s1}-x)^2+(y_{s1}-y)^2+(z_{s1}-z)^2=d_1^2

(x_{s2}-x)^2+(y_{s2}-y)^2+(z_{s2}-z)^2=d_2^2

(x_{s3}-x)^2+(y_{s3}-y)^2+(z_{s3}-z)^2=d_3^2

Por lo tanto, sabremos que el usuario está en la intersección de 3 esferas. Teóricamente, este sistema puede tener hasta dos soluciones, pero solo una de ellas estará sobre la superficie terrestre. Podemos verlo como si la superficie terrestre nos diese una ecuación más que nos dará las coordenadas reales del usuario al determinar cuál de las soluciones posibles resuelve nuestro problema de localización.

FUNCIONAMIENTO DEL GPS

Triangulación. La clave del GPS para localizar un punto sobre la superficie terrestre

Con el fin de minimizar el error de la estimación de la posición, se utiliza un cuarto satélite que dará una cuarta ecuación. De esta forma, para el correcto funcionamiento del servicio de localización será necesario, al menos, cuatro satélites disponibles.

El sistema GPS actual utiliza 24 satélites, colocados de forma que en cualquier punto de la tierra haya visibilidad con un mínimo de cuatro satélites. Si en algún momento hay cinco o más disponibles, estos se usarán para obtener más ecuaciones y de esta forma conseguir más precisión.

Además de este proceso, el sistema GPS realiza otros cálculos para corregir algunas imperfecciones que aparecen en la estimación de las coordenadas. El más importante es el efecto de la relatividad, ya que al moverse el satélite y el usuario a distintas velocidades sus percepciones del tiempo no serán las mismas. También aparecerá un efecto Doppler que provocará un error en la estimación. Si los efectos de estos dos fenómenos sobre la estimación son conocidos, estos pueden ser fácilmente cancelados.

AUTOR: RODRIGO SERNA PÉREZ

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1 Response

  1. Muy interesante el artículo y muy sencilla y claramente expuesto.
    Pero yo quisiera animar al autor a completarlo explicando ese efecto doppler y, sobre todo, el relativista, que seguramente es el menos conocido.

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