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4 ago 2016

HASTA EL INFINITO Y MÁS ALLÁ…

Cuando Buzz Lightyear  pronunció esta frase en Toy Story, quizás no era totalmente consciente de que lo que estaba diciendo tenía un fundamento matemático mucho más profundo de lo que, a priori, podría parecer.

Si hay un concepto en matemáticas que confunda más a nuestro razonamiento primario, que cualquier otro, este es el de infinito.

Vayamos por partes.

Las matemáticas del infinito

Buzz Lightyear: hasta el infinito y más allá…

Si preguntamos cuántos números naturales hay, (esto es, los que nos permiten contar, como el 1, 2, 3,…) resulta evidente que hasta un niño de primaria contestará que infinito, y  efectivamente, la respuesta será correcta. Pero preguntemos ahora a un alumno de secundaria, ¿Cuántos números pares hay?, la respuesta será también infinitos, pero…, aquí viene la gran pregunta del súper concurso del verano, ¿es un infinito menor que el de los naturales?. Ya puede cerrar la boca, si se le quedó abierta…

Un razonamiento equivocado sería el siguiente:

Si los naturales son  1,2,3,4,5,6,….     y los pares son    2,   4,   6,…. , parece lógico pensar que hay “menor número de pares que de números totales” por lo que siendo infinitos ambos, un infinito será menor que otro infinito. Este hecho nos lleva a preguntarnos:  ¿Cómo que un infinito es mayor que otro?. Pero si el infinito es eso, precisamente infinito, ¿cómo va a ser uno mas grande que otro?. Bueno, el problema es que “infinito” no es un número, es un concepto y erróneamente lo confundimos. Infinito no es nada más que una “representación” artificial del concepto contrario a la finitud. De hecho, decimos que un conjunto es finito si existe un número natural n, tal que el conjunto tiene exactamente n elementos, lo cual significa que los elementos del conjunto, pueden ponerse en correspondencia biyectiva con los números 1,…n, o lo que es lo mismo, éstos se pueden numerar.

Pero ahora le voy a sorprender aún más. En el ejemplo anterior, aunque parecería que el número de pares sería la mitad que la de números naturales, no podemos decir que hay menor número de pares que de números naturales. Y es que los conjuntos infinitos, tienen propiedades curiosas y paradójicas. De hecho podemos poner la correspondencia biunívoca:

 

1 ->  2

2 ->  4

3 ->  6

…  ->   …

entre los naturales y los naturales pares, razonando así que los pares no son menos que los naturales.

Estas paradojas del infinito, han sido tratadas a lo largo de la historia por Gauss, Bertrand Russell, o Hilbert, y por supuesto Cantor.  De hecho, existe una paradoja clásica, denominada “el hotel de Hilbert” en la que se supone un hotel con infinitas habitaciones, todas ellas ocupadas. Al llegar un nuevo huésped y pedir alojamiento, el recepcionista, a priori le dice que está todo completo, pero tras pensar un poco lo acomoda de la siguiente manera:

Hotel Hilbert y el infinito

Infinito y la paradoja del Hotel Hilbert

Le dice al huésped de la habitación 1, que pase a la 2, al de la habitación 2, que pase a la 3, y así sucesivamente, por lo que ya hay una habitación libre. Este hecho es incluso extrapolable al caso en el que lleguen infinitos viajeros buscando alojamiento. Basta con pasar a cada huésped inicial, a la habitación de número el doble a la que tenía, esto es:

 

huésped 1 pasa a la habitación 2

huésped 2 pasa a la habitación 4

huésped 3 pasa a la habitación 6

……                     ……

 

Quedando así libres las habitaciones impares, que son infinitas y alojando a los nuevos huéspedes. Efectivamente, esto provoca una auténtica conmoción en nuestro limitado raciocinio.

 

El concepto de infinito más grande que otro, hace que en bachillerato, cuando se estudian éstos, se hable de indeterminaciones. Así cuando se dice, por ejemplo, que infinito menos infinito es una indeterminación, quiere decir que al existir “infinitos más grandes que otros”, no podemos asegurar que su resultado sea cero  y tendremos que realizar operaciones para determinarlo.

George Cantor (1845-1918) trabajó en la demostración de que existían conjuntos infinitos “más infinitos que otros”, de hecho, demostró que los números irracionales, eran más más infinitos que los naturales, al no ser numerables, hecho que provocó una gran conmoción entre los matemáticos de la época ganándose muchísimos enemigos por ello, entre los que destacó especialmente su maestro Leopold Kronecher. Estos ataques fueron tan feroces, que a pesar  de tener razón, y así lo constataron numerosos reconocimientos, no pudo aguantarlo más y terminó ingresado en un hospital psiquiátrico.

 

Espero que este artículo no haga que, como a Cantor, se le tenga que ingresar en un psiquíatrico, y le recomiendo que se siente el la orilla del mar, respire hondo, abra los ojos y quédese un rato, mirando,…. hacia el infinito, y más allá.

Autor: Manuel Cazorla

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