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28 may 2018

La curva de Jordan podría salvarte la vida

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Para comenzar este post y justificar un título tan llamativo os propongo un sencillo problema que nos permitirá entender de qué estamos hablando en un tono distendido: tres amigos A, B y C estaban siendo perseguidos por unos leones hambrientos. Sin darse cuenta los tres caen por un  agujero y vienen a parar a un laberinto como el que muestra la figura.

Sólo uno logró salir de él ¿adivinas cuál es?

Laberinto: Curva de Jordan

Laberinto: Curva de Jordan

Seguramente a simple vista podáis identificar la persona que logrará salir de este laberinto, ya que es un problema relativamente sencillo, pero ¿qué procedimiento general podríamos utilizar para determinar si un punto cualquiera puede o no puede salir de este laberinto?

La respuesta a esta pregunta nos la dará un conocido resultado matemático, el teorema de la curva de Jordan.

Si existe un teorema difícil en topología, ése es el de la curva de Jordan sin embargo, aunque su demostración no es para nada sencilla, su enunciado es entendible para cualquier persona que no tenga formación matemática.

Camile Jordan (1838-1922) fue un matemático francés. En su influyente serie de libros denominada “cours d´analyse” (curso de análisis) publicada a finales del siglo XIX,  enunció su conocido teorema y publicó una demostración del mismo, demostración que resultaría ser incorrecta. Sin embargo este resultado fue demostrado en 1905 por el matemático estadounidense  Oswald Veblen  (1880-1960).

Para lograr enunciar este teorema con un poco de rigor necesitamos de una serie de definiciones previas:

Una curva en el plano es una aplicación \alpha [a,b]\rightarrow R^2 de clase infinito (sus componentes son derivables infinitas veces).

Diremos además que la curva es cerrada si cumple \alpha(a)=\alpha(b), es decir, si al dibujar su gráfica su origen y su extremo coinciden.

Curva no cerrada

Ejemplo de curva en el plano no cerrada

Ejemplo de curva en el plano cerrada

Ejemplo de curva en el plano cerrada

Una curva se dirá simple, si no tiene autointersecciones, es decir si no se corta a sí misma.

Curva con autointersecciones

Curva con autointersecciones

Una vez que sabemos que es una curva cerrada, podemos definir el concepto de curva de Jordan. Diremos que una curva es de Jordan si es una curva cerrada y simple. Dicho de otra forma si puede deformarse (sin romperse) en una circunferencia. Por ejemplo la curva anterior no es una curva de Jordan.

Ejemplo de curva de Jordan

Ejemplo de curva de Jordan

El ejemplo de partida también es una curva de Jordan en el plano.

Curva en el plano cerrada

Curva de Jordan

Una vez que tenemos definidos todos los elementos, estamos en condiciones de enunciar el teorema: toda curva cerrada y simple C del plano, divide al plano en dos conjuntos disjuntos, \Omega y \Omega', que además tienen como frontera común la curva C.

Además uno de los dos conjuntos \Omega es acotado y se le llama interior de la curva C y el otro conjunto \Omega' es no acotado y  se le denomina exterior de la curva C.

Dicho de otra forma toda curva cerrada y sin autointersecciones divide al plano en dos partes, el interior de la curva y el exterior de la misma.

Interior y exterior de una curva de Jordan

Interior y exterior de una curva de Jordan

No es nuestro propósito demostrar este teorema, entre otras cosas, por no resultar nada fácil de probar, sin embargo, sí podemos comprobar la facilidad de su enunciado y cómo intuitivamente lo que dice el teorema es fácil de ver.

La pregunta que podemos hacernos ahora es ¿puede generalizarse esta situación al caso n-dimensional? La respuesta es afirmativa y esta generalización la propuso el matemático holandés Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966)

A la derecha Brouwer, a la izquierda Niels Bohr. Fuente: Wikipedia

A la derecha Brouwer, a la izquierda Niels Bohr. Fuente: Wikipedia

La demostración del caso n-dimensional fue probada posteriormente en 1992 por J.W. Alexander. Este teorema se conoce en la actualidad con el nombre de teorema de Jordan Brouwer.

El matemático alemán Arthur Moritz Schöenflies (1853-1928) probó una generalización de este teorema donde se afirma que no sólo toda curva de Jordan (curva cerrada y simple) divide al plano en dos partes, una acotada (interior) y otra no acotada (exterior), sino que ambas regiones son homeomórficas con el interior y exterior de un círculo.

Para quienes la palabra “homeomórfica” os suene algo raro, os comentaré que dos figuras son homeomórficas si se puede establecer entre ellas una aplicación biyectiva continua con inversa continua. Los espacios topológicos que cumplen esta condición se llaman homeomorfos. Un ejemplo clásico de figuras homeomórficas son una taza y un donut.

Fuente Wikipedia: demostración gráfica de que un toro de revolución y una taza son homeomórficos

Fuente Wikipedia: demostración gráfica de que un toro de revolución y una taza son homeomórficos

En ocasiones, en matemáticas, los resultados más obvios a priori son los más complicados de demostrar y una buena prueba de ello es este teorema de la curva de Jordan.

Puedes consultar la biografía de Camile Jordan en la web de D. Enrique R. Aznar, profesor de la Universidad de Granada, pinchando en el siguiente link.

AUTOR: FRANCISCO MORANTE QUIRANTES @fdetsocial

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