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12 feb 2018

¿ES LA LÍNEA RECTA LA DISTANCIA MÁS CORTA ENTRE DOS PUNTOS?

Si deseáramos surcar los mares con nuestra fragata del siglo XVII para ir de un determinado puerto A a otro puerto B  ¿cuál sería la ruta más corta que habríamos de tomar? Es en estos momentos cuando viene a nuestra mente aquello que nos enseñaron desde que éramos pequeños “la distancia más corta entre dos puntos A y B es siempre la línea recta” pero resulta que, en este caso, no es así. La distancia más corta entre dos puntos sobre la superficie terrestre no nos la brinda una línea recta sino que nos la ofrece un arco de círculo máximo, es decir, un arco de círculo que pase por A y B y  tenga como centro el mismo que la Tierra.

A lo largo de los siglos XVI,  XVII  nuestros mares comenzaron a llenarse de navegantes deseosos de surcar los mares en busca de nuevas tierras, ellos ya eran conocedores de que para navegar entre dos puntos la distancia más corta nos la da un círculo máximo, pero para conseguir ese círculo máximo se necesita estar constantemente cambiando de rumbo lo que suponía un inconveniente bastante grande, es por ello que con frecuencia se sustituye esta curva por otra en la que el ángulo que forma la trayectoria del  barco con todos los meridianos que atraviesa se mantenga constante. Esta curva se denomina “loxodrómica” y es la que habitualmente se sigue tanto en los viajes por mar y por aire para viajar entre dos puntos.

Curva Loxodrómica (Wikipedia)

Curva Loxodrómica (Wikipedia)

No olvidemos que tanto los navegantes como los pilotos no viajan sobre un plano, por lo que cuando intentan plasmar sobre un plano la ruta de viaje entre dos puntos dados A y B el resultado es lo que se conoce como una espiral equiangular, es decir una espiral que tiene una propiedad fundamental: la recta tangente en cada punto forma con el radio un ángulo constante.

Espiral equiangular: Fuente Wikipedia

Espiral equiangular: Fuente Wikipedia

El primero en hallar este tipo de curva en 1638 fue el filósofo, físico y matemático francés René Descartes (1596-1650). Descartes habló de ella en una carta con el sacerdote, matemático y filósofo francés Marin Mersenne (1588-1648).

Aunque Descartes fuera el primero en describir este tipo de curvas, no fue él quien hizo los mayores aportes en su estudio, sino que ese honor recae sobre Jacob Bernoulli (1654-1705). Bernoulli realizó un estudio muy exhaustivo de esta curva llegando a publicar un libro titulado “Spira mirabilis”.

Sello emitido en 1994 en Suiza con motivo del Congreso Internacional de Matemáticas con la imagen de Jacob Bernoulli. En el sello aparece la ley de los grandes números. Fuente (Revista suma)

Sello emitido en 1994 en Suiza con motivo del Congreso Internacional de Matemáticas con la imagen de Jacob Bernoulli. En el sello aparece la ley de los grandes números.
Fuente (Revista suma)

Después de toda una vida dedicada al estudio de esta curva, Jacob quedó tan maravillado con sus propiedades que ordenó que cuando muriese, en su lápida se hiciera una recreación de esta espiral denominada espiral logarítmica y que se inscribiera en su epitafio “Eadem mutata resurgo” que traducido significa “Mutante y permanente, vuelvo a resurgir siendo el mismo” en honor a las propiedades recién descubiertas de esta curva. Sin embargo, y como anécdota hay que decir, que los obreros no son tan cuidadosos a la hora de tallar este tipo de figuras, y la espiral que aparece en su lápida no es la espiral logarítmica sino una espiral de Arquímedes. La espiral de Arquímedes se incrementa a distancias constantes, mientras que la espiral logarítmica se incrementa según una progresión geométrica.

Lápida de Jacob Bernoulli en Basilea

Lápida de Jacob Bernoulli en Basilea

Entre las propiedades que descubrió Jacob están que la evoluta (lugar geométrico de los centros de curvatura de la curva) de la espiral logarítmica forma a su vez otra espiral logarítmica.

La espiral logarítmica es la espiral que más aparece en el mundo animal como en conchas de caracoles y moluscos.

Fuente Pixabay

Fuente Pixabay

Espiral logarítmica en una telaraña (Fuente pixabay)

Espiral logarítmica en una telaraña (Fuente pixabay)

En el mundo vegetal también aparecen, por ejemplo, en la distribución de las pipas de girasol, en las escamas de una piña, o en una gran variedad de flores.

Fuente Pixabay

Fuente Pixabay

Esta espiral también suele aparecer con frecuencia en fenómenos naturales como puede ser en una borrasca o en un huracán

Imagen de un huracán visto desde un satélite: Fuente pixabay

Imagen de un huracán visto desde un satélite: Fuente pixabay

También encontramos esta espiral en las imágenes de galaxias como “Andrómeda”

Andrómeda (Fuente revista Muy interesante)

Andrómeda (Fuente revista Muy interesante)

Desde un punto de vista matemático podemos definir la espiral logarítmica como la curva que tiene como expresión en coordenadas polares:

r=ab^\theta

De donde al despejar el exponente tenemos:

\theta =log_b(\frac{r}{a})

Siendo a, b números reales positivos.

Hay que notar que si a=0 la curva representa una línea recta, y si a=\pm \frac{\pi}{2}, entonces la curva degenera en una circunferencia.

Con respecto a la constante b, si |b|<1 entonces la curva se contrae, mientras que si |b|>1 la curva se expande con incremento de \theta.

La espiral logarítmica es una curva que aparece con mucha frecuencia y multitud de fenómenos que nos rodean y es otra muestra de cómo la naturaleza emplea un lenguaje matemático para expresarse.

AUTOR: FRANCISCO MORANTE QUIRANTES @fdetsocial

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