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21 sep 2018

LAS CURVAS DE Franz Reuleaux

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Si tuviéramos que dibujar una curva con una anchura constante, ¿de qué curva se trataría? Seguro que todos estáis pensando en la misma, en el círculo, pero existen otras curvas con anchura constante aunque son menos conocidas.

En primer lugar deberíamos definir lo que significa que una curva tenga anchura constante.

Imaginemos que tenemos una curva cerrada y que consideramos un punto cualquiera de ella y también su opuesto. Por estos puntos trazamos dos líneas paralelas. La distancia entre estas dos líneas se denomina ancho de la curva.

Cuando esta distancia es igual para cualquier punto que tomemos de la curva (y de su opuesto), entonces se dirá que la curva tiene anchura constante.

Reuleaux 01

Evidentemente en una circunferencia el ancho de la curva es el diámetro de la misma.

Una vez que conocemos la definición de ancho de la curva, vamos a estudiar si existen otras curvas que tengan anchura constante.

Para realizar la construcción de una de ellas, vamos a partir de un triángulo equilátero ABC.

Reuleaux 02

A continuación trazamos una circunferencia con centro en cada uno de los vértices A, B y C y radio la longitud del triángulo.

Reuleaux 03

Nos quedamos finalmente con la curva que se origina con las circunferencias y los vértices del triángulo ABC, es decir, con la curva:

Reuleaux 04

La curva así construida tiene anchura constante, y como se puede observar no es una circunferencia.

Para comprobar que tiene anchura constante basta con tomar un punto cualquiera de la curva, por ejemplo, del arco de circunferencia que va desde A a C. Este arco tiene como centro el punto B, por lo que su punto opuesto en la curva es B. De forma similar se razona con puntos en los otros dos arcos, por lo que la distancia entre el punto seleccionado y B es el radio de la circunferencia.

Al construirse la curva con tres circunferencias del mismo radio, tomemos el punto que tomemos, la anchura es constante.

Por lo tanto esta curva tiene anchura constante.

Reuleaux 05

Esta curva se denomina triángulo de Reuleaux en honor al ingeniero mecánico alemán Franz Reuleaux (1829-1905) que la utilizó en sus diseños.

Este tipo de curvas se han utilizado mucho en algunos diseños arquitectónicos para el diseño de ventanas como por ejemplo en la Iglesia de San Juan del Hospital en Valencia o en Groot Vleeshuis en Gante (Bélgica).

Reuleaux 06

Fuente: Wikipedia

La curva que hemos construido, se ha realizado tomando como base un triángulo equilátero, pero, ¿es posible realizar la construcción de esta curva con otro tipo de polígono regular?

La respuesta a esta pregunta es afirmativa como os podéis imaginar

Si realizamos la misma construcción partiendo de un pentágono regular ABCDE, nos aparece la siguiente figura:

Reuleaux 07

Al eliminar las figuras auxiliares se nos queda:

Reuleaux 08

Esta construcción es un pentágono de Reuleaux.

Se pueden construir curvas de Reuleaux con cualquier polígono regular con la condición de que el número de lados sea impar.

Podemos ver este tipo de figuras por ejemplo en el diseño de algunas monedas como por ejemplo en la moneda de 50 peniques británica.

Reuleaux 09

Una vez que conocemos que existen una infinidad de curvas de anchura constante, cabe preguntarse si sus perímetros guardan alguna relación.

El matemático y astrónomo francés Joseph-Émile Barbier (1839-1889) demostró que todas las curvas de anchura constante tienen el mismo perímetro, es decir ?d, siendo d la anchura de la curva. Este teorema hoy día se conoce con el nombre de Teorema de Barbier.

Como vemos todas las curvas de anchura constante tienen el mismo perímetro, y como sabemos por el problema isoperimétrico de todas las curvas con el mismo perímetro la que encierra una mayor área es la circunferencia. Además parece lógico pensar que para un determinado perímetro constante, cuando construimos una curva de Reuleaux cuantos menos vértices tenga menor será su área. Precisamente esto es lo que afirma el Teorema de Blaschke-Lebesgue

En este sentido vamos a calcular el área de un triángulo de Reuleaux.

Para ello consideramos la figura

Reuleaux 10

Si consideramos el triángulo equilátero junto con uno de los segmentos circulares observamos que se forma un sector circular de ángulo 60º y de lado igual al lado del triángulo

Reuleaux 11

por lo que si denotamos por r al lado del triángulo, el área será:

\frac{\pi r^2}{6}

Ahora tenemos que sumarle el área que se forma de los otros dos segmentos circulares. Para ello bastará con considerar el área del sector circular correspondiente menos el área del triángulo, es decir:

\frac{\pi r^2}{6}-Área del triángulo

El área del triángulo viene dada por:

\frac{rh}{2}

Siendo h la altura del triángulo. Utilizando la trigonometría se puede deducir que

tan60=\frac{h}{r/2}\Longrightarrow h=\frac{r}{2}\cdot tan60 =\frac{r}{2}\cdot \sqrt{3}=\frac{r^2\sqrt{3}}{2}=

=\frac{\pi r^2+2\pi r^2-3r^2\sqrt{3}}{6}=\frac{3\pi r^2-3r^2\sqrt{3}}{6}=\frac{r^2}{2} (\pi-\sqrt{3})

Como vemos esta área es menor que el área de un círculo.

Los polígonos de Reuleaux han sido utilizados como diseño de muchos objetos, ya sean monedas, algunas alcantarillas, ventanas en iglesias o catedrales, y también como curiosidad, en el diseño de relojes como por ejemplo el modelo ZR012  fabricado por la casa rusa C3N5H309.

también se aplica a los engranajes cicloidales donde se cambia la zona epicicloidal por un arco de circunferencia y la zona hipocicloidal por otro quedando el perfil conformado por sendos arcos de circunferencia.

Imagen: caminossinuosos.wordpres.com

Imagen: caminossinuosos.wordpres.com

En este post hemos puesto de manifiesto que una propiedad importante de la circunferencia, como es que tiene la anchura constante, no es exclusiva de esta figura, sino que existe toda una familia de curvas que poseen esta propiedad y que estas curvas aparecen reflejadas en muchas construcciones.

AUTOR: FRANCISCO MORANTE QUIRANTES @fdetsocial

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