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7 nov 2016

LAS MATEMÁTICAS TAMBIÉN DESTAPAN FRAUDES FINANCIEROS

El uso de las matemáticas para  destapar fraudes financieros.

Estamos acostumbrados a que, en nuestro día a día, aparezca una gran cantidad de información que viene dada en forma de números. Datos como el DNI, cantidad de litros de carburante repostados por nuestro vehículo, número de teléfono o importe de facturas, son sólo algunos ejemplos de cómo aparecen los números en nuestro devenir diario  pero ¿aparecen todos estos números con la misma frecuencia?

Seguramente habremos observado que algunos números aparecen con más frecuencia que otros, por ejemplo, es más frecuente encontrar números cuyo primer dígito sea 1, que números cuyo primer dígito sea un 7, pero ¿hay alguna regla matemática que explique este fenómeno?

Benford

En 1881 el físico y matemático Simon Newcomb (1835-1909) se percató de que en su libro de tablas de logaritmos las primeras páginas estaban más desgastadas que las últimas, lo que le llevó a concluir que en los años de utilización del libro trabajó más con números cuyas primeras cifras son bajas que con números cuyas primeras cifras son altas.  Esta afirmación sólo influye a los años de utilización de su libro y por supuesto sólo a los resultados en los que utilizó sus tablas pero cabe preguntarse si es posible ampliar esta afirmación, es decir, si podía ser más probable encontrar en la naturaleza números que empiezan por cifras bajas como 1 o 2 que números que empiezan por cifras altas como 8 o 9.

Esta afirmación no fue resuelta hasta 1938 cuando el físico Frank Benford  a partir del estudio de 20.229 números provenientes de diferentes muestras enunció  su conocida “ley de los números anómalos de Benford”  en la que afirma que la primera cifra significativa de los números extraídos al azar se distribuye siguiendo la distribución:

p(\theta =i)=log_{10}(1+\frac{1}{i}), i=1,2,\cdots, 9

Esta expresión es una función de probabilidad ya que está formada por números no negativos (cosa que resulta obvia ya que 1+\frac{1}{i}>1, i=1,2,\cdots 9

y, por lo tanto, su logaritmo es una cantidad positiva)  y, además, su suma es la unidad:

\sum_{i=1}^{9}p(\theta=i)=\sum_{i=1}^9 log_{10}(1+\frac{1}{i})=\sum_{i=1}^9 log_{10}(\frac{1+i}{i})=

=\sum_{i=1}^9 (log_{10}(1+i)-log_{10}i)=log_{10}10-lob_{10}1=1-0=1

Según esta distribución tendríamos:

1 2 3 4 5 6 7 8 9
Prob 30,1% 17,6% 12,5% 9,7% 7,9% 6,7% 5,8% 5,1%

4,6%

Es decir, según esta ley hay un 30,1%  de probabilidad de que la primera cifra sea un 1. Si nos fijamos la probabilidad disminuye al aumentar el dígito de forma que es más probable encontrarnos con un número que comience por una cifra baja que por una cifra alta.

En esta distribución no se considera el 0 por razones obvias.

Una vez que conocemos la ley Benford cabe preguntarse en qué situaciones es aplicable, ya que hay situaciones  como, por ejemplo, la matrícula de un coche o el DNI de una persona en las que es obvio que no lo es.

En el estudio realizado por Frank Benford consideró una muestra proveniente de la población de ciudades, longitudes de ríos, alturas de montañas, etc…

La ley de Benford  se utiliza con frecuencia para encontrar declaraciones fraudulentas o en la detección de fraudes fiscales cuando se conocen las transacciones realizadas por una empresa. Para ello se considera el conjunto de datos fiscales registrados en los asientos de entradas y salidas y se estudian las primeras cifras significativas. Si éstas se distribuyen según la ley Banford entonces la declaración no ha sido, probablemente, manipulada, en caso contrario es probable que lo haya sido, por lo que se somete a una inspección. Este hecho está basado en el hecho de que quien intenta defraudar en la contabilidad, tiende a distribuir los números de forma uniforme.

Aunque la ley Benford no es concluyente, como es evidente, sí señala qué contabilidad debe ser investigada con más profundidad  y cuál parece ser correcta.

Esta ley ha sido utilizada para estudiar, por ejemplo, la contabilidad reflejada en los papeles de Bárcenas por parte de Miguel Lacruz Martín, profesor titular de Análisis Matemático de la Universidad de Sevilla, concluyendo que Bárcenas miente en su declaración.

Este tipo de pruebas sirven para detectar posibles fraudes en las entradas de la contabilidad de una empresa y empleando técnicas matemáticas permiten escoger de entre todas las contabilidades cuáles son susceptibles de ser fraudulentas  y, por lo tanto, cuáles deben ser investigadas a fondo.  La estadística en estos casos juega un papel fundamental ya que sirve para simplificar el trabajo que deben realizar los auditores a la hora de escoger los casos a investigar.

Este es otro ejemplo de cómo se utilizan las matemáticas en distintos campos, que en principio parecen alejados de ellas como es el caso de las auditorías a empresas.

AUTOR: FRANCISCO MORANTE QUIRANTES @fdetsocial

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