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25 jun 2018

Ni ordenar un puñado de libros podía ser algo trivial

El lema de zorn: ¿Cómo ordenamos cosas los matemáticos?

Como ya hemos comentado en otras entradas existe una gran diferencia entre el lenguaje utilizado habitualmente para comunicarnos y el lenguaje que empleamos los matemáticos.  Por ejemplo, imaginemos que contamos con un conjunto de libros. ¿Qué significa que el conjunto está ordenado? Para algunos el orden será tenerlos clasificados por materias, o por tamaño, o quizás por el color de sus tapas, pero ¿cuál es la mejor forma de ordenarlos? Habrá que especificar en base a qué características queremos ordenarlos para que no haya posibilidad de confusión.

Lema de Zorn

En matemáticas el concepto de orden es bien distinto. Dado un conjunto A, una relación de orden en ese conjunto es una relación “R” que cumple:

1.- Propiedad reflexiva:  aRa, \forall a\in A

2.- Propiedad antisimétrica:

Si  aRb y bRa, entonces a=b

3.- Propiedad transitiva:

Si aRb y bRc,  entonces aRc.

Un conjunto que está dotado de una relación de orden se dirá que es un conjunto ordenado o conjunto parcialmente ordenado.

Además se dirá que este orden es total si cualesquiera dos elementos del conjunto a, b se tiene que aRb o bRa (esto se podría leer como que “a” está relacionado con “b” o “b” relacionado con “a”).

Está claro que los números reales es un conjunto ordenado con la relación “menor o igual (\leq)”. De hecho es un conjunto totalmente ordenado ya que dados dos números cualesquiera uno será menor o igual que el otro.

Pero volvamos al ejemplo de nuestros libros. Imaginemos que en nuestra colección de libros decidimos ordenarlos por tamaño, de menor a mayor.

En este caso al coger dos libros cualesquiera podemos decir que uno es más pequeño que otro, y por tanto se colocará antes que el otro. Por tanto este orden es un orden total.

Sin embargo imaginemos que ordenamos nuestra colección de libros en una estantería por temáticas, de forma que en cada leja vayan los libros de la misma temática ordenados por la fecha de edición del libro.

En este caso, si cogemos dos libros, por ejemplo uno de matemáticas y otro de novela, éstos no guardan ningún tipo de relación ya que pertenecen a clasificaciones diferentes. Este orden que acabamos de definir no es un orden total, es un orden parcial.

Fijémonos que en este orden definido, aunque no sea un orden total, si podemos afirmar que dentro de los libros de cada leja, es decir los que tienen la misma temática el orden es total, es decir, hemos dividido nuestra colección de libros en varias subcolecciones y las hemos ordenado con un orden total. Estas subcolecciones las llamaremos cadenas.

Una vez que tenemos claro que existen dos tipos de orden diferentes para un mismo conjunto estamos en condiciones de enunciar el conocido lema de Zorn.

El lema de Zorn es una herramienta muy útil en la teoría de conjuntos, y con multitud de aplicaciones en matemáticas, ya que permite demostrar teoremas de prácticamente todas las áreas de las matemáticas. En él se dice:

Si A es un conjunto  (no vacío) parcialmente ordenado en el que toda cadena (subconjunto totalmente ordenado de X) posee una cota superior, entonces X contiene al menos un elemento maximal.

Para explicar este lema, volvamos a nuestra colección de libros, y a su clasificación por temáticas en lejas distintas de una estantería. En este caso como dentro de cada temática los ordenamos por fecha de edición del más antiguo al más nuevo, habrá un elemento que sea el más nuevo de todos, ese elemento será una cota superior de nuestra colección de libros de esa temática. De hecho tenemos un elemento maximal para cada temática.

Pues bien el lema de Zorn afirma que en tal caso existe un elemento maximal. Aunque podría deducirse del contexto, aclaremos que un elemento maximal es un elemento del conjunto que no es menor que ninguno otro del conjunto.

En nuestro caso de los libros, serán maximales  los libros más nuevos por fecha de edición de cada una de las colecciones por temáticas que hemos hecho.

Aunque este lema fue enunciado en primer lugar por el matemático y lógico polaco Kazimierz Kuratowski (1896-1980) en 1922, el matemático alemán nacionalizado estadounidense Max August Zorn (1906-1993) lo demostró de forma independiente en 1935. Aunque se conoce como Lema de Zorn,  en muchos libros se cita como lema de Kuratowski-Zorn.

Maz August Zorn, Fuente: Wikipedia

Maz August Zorn, Fuente: Wikipedia

Zorn nació y se formó en Alemania, doctorándose en 1930  en la universidad de Hamburgo bajo la tutela del conocido algebrista Emil Artin (1898-1962).

Como he comentado anteriormente el lema de Zorn se utiliza en una gran cantidad de demostraciones en matemáticas.  Por ejemplo gracias al lema de Zorn podemos demostrar que todo espacio vectorial tiene una base.

Además el lema de Zorn es equivalente a una gran cantidad de enunciados, algunos de ellos muy famosos en las matemáticas como:

El axioma de Hausdorff: para todo conjunto parcialmente ordenado existe al menos una cadena maximal.

El axioma de Zermelo: todo conjunto puede ser dotado de un buen orden, es decir, puede ser bien ordenado.

El axioma de Elección que forma parte de los axiomas de Zermelo-Fraenkel: Para todo conjunto puede definirse una función de elección, que asocia a cada subconjunto del conjunto de partida otro subconjunto denominado “elemento distinguido por la función de elección”.

Lema de Tuckey: Toda familia no vacía de carácter finito tiene un elemento maximal.

Lema de Kuratowsky: Toda cadena en un conjunto ordenado está contenida en una cadena maximal.

El axioma de elección fue formulado por Zermelo en 1904 cuando éste buscaba una prueba de que todo conjunto puede ser bien ordenado. Este axioma nos garantiza la existencia de una función de elección, pero no indica cómo hallarla. Este hecho hizo que fuera rechazado por la mayor parte de la comunidad matemática de la época. Hoy día es aceptado por la mayoría de los matemáticos y es una herramienta fundamental a la hora de obtener resultados importantes en la mayoría de las ramas de las matemáticas.

AUTOR: FRANCISCO MORANTE QUIRANTES @fdetsocial

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