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17 nov 2016

Los primos de Mersenne, una familia de números muy rentable

Números primos de Mersenne

Los números primos se consideran un pilar fundamental de las matemáticas, ya que sin ellos no podríamos elaborar algoritmos y cálculos complejos. Una de las principales aplicaciones de los números primos está en la codificación de información, en lo que denominamos criptografía. En la criptografía no sólo son importantes los números primos, sino que cuanto mayores son los números primos utilizados más segura es la información.

Esta es una de las razones por las que muchos matemáticos se lanzan a la aventura de encontrar los mayores números primos posibles, hasta llegar a números que alcanzan cifras récord de millones de dígitos.

Mersenne

Mersenne

Podemos preguntarnos acerca de cuántos números primos existen pero esta cuestión la dejó Zanjada Euclides en el siglo III a. C donde demostró que existen infinitos números primos. Para demostrarlo recurrió a la conocida técnica del ad absurdum (reducción al absurdo), es decir, suponer lo contrario de lo que se quiere probar y llegar a una contradicción con algún hecho probado.

En este caso supuso que existían una cantidad finita de números primos p_1, p_2,\cdots p_n. Entonces consideró el número K como producto de todos ellos mas una unidad p_1\cdot p_2\cdots p_n +1.

Entonces este nuevo número tiene dos posibilidades, o bien es primo, o bien es compuesto. Pero si es compuesto debe ser divisible por un número primo, pero como hemos asumido que hay una cantidad finita p_1, p_2,\cdots p_n, entonces debe ser divisible por alguno de estos números primos. Esto es imposible, ya que al dividir por cualquiera de ellos obtendríamos de resto 1. Por lo tanto llegamos a la conclusión de que K es un número primo, y por lo tanto llegamos a una contradicción con el hecho de que hay una cantidad finita de números primos.

Dentro de los números primos existen un tipo particular de ellos que tienen una especial importancia, son los conocidos como primos de Mersenne.  Un primo de Mersenne es un número primo que puede ser expresable de la forma 2^p-1.

Marin Mersenne (1588-1648) fue un matemático, teólogo, filósofo y músico francés quien en su intento de encontrar una fórmula para caracterizar a todos los números primos llegó a observar que ciertos números de la forma 2^p-1. eran primos.

Hay que observar que para que un número de la forma 2^p-1 sea primo, es necesario que p sea primo también. Mersenne afirmó en 1644 que 2^p-1 era primo para p=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127 y 257, pero que sin embargo para los otros 44 primos menores que 257 esta expresión daba como resultado un número compuesto.

Los números primos de Mersenne están relacionados muy estrechamente con los números perfectos.  Un número perfecto es un número natural que es igual a la suma de todos sus divisores propios positivos (es decir sin contarse a él mismo). Por ejemplo 28 es un número perfecto, ya que sus divisores propios son 1,2,4,7 y 14 (obsérvese que excluimos el 28 que también es divisor de sí mismo). Si observamos la suma 1+2+4+7+14=28.

Euclides en el siglo III a.C, descubrió una fórmula para obtener números perfectos, en concreto descubrió  que si 2^p-1 es primo, entonces el número P=2^{p-1}\cdot (2^p-1) es un número perfecto. Con esto se dio una condición suficiente para que un número fuera perfecto, pero no estaban totalmente caracterizados, pues no se sabía si podría existir otra fórmula que generase números perfectos.

Fue en el siglo XVIII cuando Euler demostró que un número par es perfecto sí y sólo si es de la forma P=2^{p-1}\cdot (2^p-1) donde 2^p-1 es un número primo. Es decir Euler caracterizó todos los números perfectos pares, sin embargo no pudo hacer ningún avance con los números perfectos impares, de hecho actualmente no se conoce ningún ejemplo de número perfecto impar, por lo que no se sabe si existen y no se ha encontrado ningún resultado en ese sentido.

Como vemos los números perfectos y los números primos de Mersenne están íntimamente relacionados desde hace mucho tiempo, pero hoy día los primos de Mersenne siguen siendo un misterio. Actualmente sólo se conocen 49 números primos de Mersenne, y el último que se ha encontrado, el número 49 de la lista se ha encontrado para p=74 207 281, lo que nos da un número primo de Mersenne con más de 22 millones de dígitos, en concreto 22.338.618 dígitos y fue descubierto por Curtis Cooper el 7 de enero de 2016 utilizando el software desarrollado por el equipo GIMPS (The Great Internet Mersenne Prime Search) que trabaja en la búsqueda de este tipo de números primos.

De hecho los últimos 15 números primos de Mersenne han sido descubiertos utilizando el software del equipo GIMPS.

La lista completa de números primos de Mersenne encontrados hasta la fecha es:

M2 (Siglo V a.C) – Matemáticos de la Grecia Antigua

M3 (Siglo V a.C) – Matemáticos de la Grecia Antigua

M5 (Siglo III a.C) – Matemáticos de la Grecia Antigua M7 (Fecha desconocida)

M7 (Siglo V a.C) – Matemáticos de la Grecia Antigua

M13 (1456) – Anónimo

M17 (1588) – Cataldi

M19 (1588) – Cataldi

M31 (1772) – Euler

M61 (1883) – Pervushin

M89 (1911) – Powers

M107 (1914) – Powers

M127 (1876) – Lucas

M521 (30-01-1952) – Robinson (SWAC)

M607 (30-01-1952) – Robinson (SWAC)

M1279 (25-06-1952) – Robinson (SWAC)

M2203 (07-10-1952) – Robinson (SWAC)

M2281 (09-10-1952) – Robinson (SWAC)

M3217 (08-09-1957) – Riesel

M4253 (03-11-1961) – Hurwitz

M4423 (03-11-1961) – Hurwitz

M9689 (11-05-1963) – Gillies

M9941 (16-05-1963) – Gillies

M11213 (02-06-1963) – Gillies

M19937 (04-03-1971) – Tuckerman

M21701 (30-10-1978) – Noll y Nickel

M23209 (09-02-1979) – Noll

M44497 (08-04-1979) – Nelson y Slowinski

M86243 (25-09-1982) – Slowinski

M110503 (28-01-1988) – Colquitt y Welsh

M132049 (20-09-1983) – Slowinski

M216091 (06-09-1985) – Slowinski

M756839 (19-02-1992) – Slowinski, Gage

M859433 (10-01-1994) – Slowinski, Gage

M1257787 (03-09-1996) – Slowinski, Gage

M1398269 (13-11-1996) – Joel Armengaud (GIMPS)

M2976221 (24-08-1997) – Gordon Spence (GIMPS)

M3021377 (27-01-1998) – Roland Clarkson (GIMPS)

M6972593 (01-06-1999) – Nayan Hajratwala (GIMPS)

M13466917 (14-11-2001) – Michael Cameron (GIMPS)

M20996011 (17-11-2003) – Michael Shafer (GIMPS)

M24036583 (15-05-2004) – Josh Findley (GIMPS)

M25964951 (18-02-2005) – Martin Nowak (GIMPS)

M30402457 (15-12-2005) – Curtis Cooper, Steven Boone (GIMPS)

M32582657 (04-09-2006) – Curtis Cooper, Steven Boone (GIMPS)

M37156667 (06-09-2008) – Hans-Michael Elvenich (GIMPS)

M42643801 (12-04-2009) – Odd M. Strindmo (GIMPS)

M43112609 (23-08-2008) – Edson Smith (GIMPS)

M57885161 (25-01-2013) – Curtis Cooper (GIMPS)

El equipo de GIMPS se ha propuesto un nuevo reto: hallar un número primo con más de 100 millones de dígitos y para ello la fundación “Electronic Frontier Foundation” ofrece 150.000 dólares a quien sea capaz de encontrar un número primo con esa cantidad de cifras. La recompensa aumenta hasta 250.000 dólares para quien sea capaz de encontrar un número primo con más de 1.000 millones de dígitos.

Bibliografía:

  • http://tiopetrus.blogia.com/2003/090901-los-primos-de-mersenne-y-los-n-meros-perfectos..php
  • http://tiopetrus.blogia.com/2003/090901-los-primos-de-mersenne-y-los-n-meros-perfectos..php

AUTOR: FRANCISCO MORANTE QUIRANTES @fdetsocial

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