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26 Abr 2016

PUNTOS FIJOS, UN ENFOQUE PRÁCTICO

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1.- Introducción

Cualquier proceso experimental que sea objeto de estudio requiere para ello un cierto cambio o dinamismo en su propia naturaleza. Por ese motivo, lejos de parecer contradictorio, es incluso más sugerente el análisis de lo que se conocen como puntos fijos, es decir, elementos que durante un proceso temporal permanezcan inalterados. Si dichos elementos son, por ejemplo, puntos, entonces hablaremos propiamente de puntos fijos; si tales puntos hacen referencia a funciones, podremos recurrir a ellas como funciones o soluciones estacionarias. Durante el presente artí­culo expondremos algunas manifestaciones de tales puntos en procesos experimentales.

Puntos fijos en un huracán

Puntos fijos en la meteorología

2.- Soluciones de ecuaciones

Es ampliamente conocida la existencia y el cálculo de soluciones de ecuaciones de la forma ax^2+bx+c=0, donde a, b y c son números reales. Sin embargo, cambiando ligeramente la expresión anterior podemos dar lugar a ecuaciones cuya solución explí­cita puede llegar a ser extremadamente complicada de obtener; tómese por ejemplo

-log{(t^2)}+a=0,    a>0,\,t>0

A simple vista, este resultado no guarda relación con los puntos fijos; sin embargo, llamando f:]0,+\infty[\rightarrow \mathbb{R} a la función definida por f(t)=-\log{(t^2)}+a+t, para todo t\in]0,+\infty[, podemos reescribirla como f(t)=t. Puede comprobarse que, cuando a\leq-0.613705, la función f admite un punto fijo (no necesariamente único)

Puntos fijos: Algunos valores de a representados gráficamente mediante f

Puntos fijos: Algunos valores de a representados gráficamente mediante f

3.- La taza de té, o el punto fijo de Brower

Imaginemos ahora que tenemos una taza llena y comenzamos a remover las partí­culas de su interior. En el momento en el que se detenga el líquido, parecerá que se encuentra en un completo desorden en comparación con su estado inicial. Sin embargo, el teorema del punto fijo de Brower nos asegura que existe un punto del fluido que, tras viajar por la taza, ha vuelto exactamente al mismo punto desde el que partió.

Punto fijo de Brower

Punto fijo de Brower

Aparte de esta curiosa anécdota, el anterior teorema tiene aplicaciones más fuertes, como la existencia de soluciones complejas de cualquier ecuación polinómica.

4.- El mapa, o el punto fijo de Banach

Supongamos que tenemos un mapa de la ciudad en la que nos encontramos y lo extendemos sobre el suelo en cualquier lugar y de cualquier forma. De este modo, siempre existirá un punto del mapa que está situado sobre el punto real que representa. Este hecho podemos vislumbrarlo en las siguientes imágenes:

parte3imagen3

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Puntos fijos de Banach

Punto fijo de Banach

La pregunta ahora es, ¿cómo podemos conocer cuál es dicho punto? La demostración del teorema anterior nos sugiere que para aproximarlo tenemos que repetir el proceso (es decir, componer la aplicación que nos determina la identificación del mapa con el suelo) tantas veces como nos sea posible, para así cada vez tenerlo acotado en una región más pequeñaa. De forma un poco más precisa, si \lambda<1 es la constante de Lipschitz de la aplicación en cuestión, tenemos que

d(x_n,\overline{x})\leq\frac{\lambda^n}{1-\lambda}d(f(x_0),x_0)

donde x_0 es un punto arbitrario, la sucesión \{x_n\}_{n\in \mathbb{N}\cup\{0\}} viene dada por x_n=f^{(n)}(x_0), y \overline{x} es el lí­mite de la sucesión y (ahora si) único punto fijo.

5.- La teoría de juegos, o el Teorema de Nash

Para culminar nuestra lista de ejemplos, haremos referencia a todo un icono de las Matemáticas del siglo XX como fue John Forbes Nash. Entre sus diversos trabajos destacaremos aquel que guarda relación con nuestro propósito, el de la teorí­a de juegos. Imaginemos una partida de cartas (por ejemplo, de Poker) en la que los jugadores comienzan a superar rondas; naturalmente lo que un jugador gana es debido a que otro lo pierde, y en tal caso diremos que el juego es de suma cero. La intuición nos indica que la estrategia ideal serí­a aquella que nos permitiese estar en un estado de equilibrio durante el mayor tiempo de la partida, y eventualmente aspirar a conseguir valores superiores que se traducirí­an en ganancias.

puntos fijos

Ilustración del proceso de la partida en torno al punto de equilibrio.

Lo que Nash demostró fue que, en efecto, tal equilibrio que arrojaba la intuición existe, y que por tanto la estrategia óptima consiste en tratar de permanecer en medida de lo posible tan cerca del mismo como se pueda.

AUTOR: ANTONIO ZARAUZ MORENO

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