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21 feb 2017

MÁS ALLÁ DEL CRITERIO DE NYQUIST

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¿Tiene el criterio de Nyquist la última palabra?

El criterio de Nyquist dice que cualquier señal limitada en frecuencia que se muestree con una frecuencia de muestreo por encima de dos veces su frecuencia máxima puede ser recuperada sin ninguna pérdida de información.

Criterio de Nyquist para reconstrucción de señales. Diezmado.

En el lenguaje de los no iniciados en la teoría de señales esto significa que si tenemos una imagen a la que hemos recortado pequeños pedacitos podría ser posible recuperar la imagen original completa bajo algunas condiciones.

Aunque el criterio de Nyquist dice claramente que la señal se puede recuperar si la frecuencia de muestreo es mayor que el doble de su frecuencia máxima, esto no significa que no pueda recuperarse con una frecuencia de muestreo menor y aquí entra en juego la herramienta matemática.

La matemática detrás del diezmado

De forma genérica, podemos escribir el proceso de diezmado de una señal x (es decir, reducir su número de muestras) de la siguiente manera:

y=Ax

Donde y es la señal diezmada y A es una matriz que nos dará tanto el tamaño de la señal diezmada como la forma en la que queremos reducir las muestras. Por ejemplo, si queremos diezmar una señal de 6 muestras a una de 3 simplemente eliminando las muestras en posiciones pares deberíamos usar la matriz:

A=\left(  \begin{array}{ccccc}  1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\  \end{array}  \right)

Si queremos recuperar la señal x a partir de la señal y, tendremos que resolver el sistema de ecuaciones. Obviamente la matriz A que usemos tendrá más filas que columnas, por lo que el sistema que tendremos que resolver será compatible e indeterminado y tendremos por tanto infinitas soluciones.

Aquí es donde se introducen distintas estrategias para poder saber cuál de todas es nuestras señales originales. Para ello se define una función que asigna a cada señal x un valor. Así, el problema de reconstrucción de la señal original se reducirá a la búsqueda del vector x que sea solución del sistema de ecuaciones y, al mismo tiempo, minimice la métrica elegida.

Para el proceso de diezmado usual se define la función como la máxima frecuencia presente en la señal x. Así, buscaremos la solución que minimice esa frecuencia máxima. El criterio de Nyquist lo que dice es que solo habrá una señal x que cumpla L(x)\leq \frac{Freq muestreo}{2}, por lo que será la que minimice la métrica .

Existen algunas clases de señales para las que otras métricas funcionan mejor. Este es el caso de las señales llamadas dispersas, que son señales en las que la mayor parte de sus elementos son igual a 0. Si sabemos que la señal x es muy dispersa, podemos definir la función  como el número de elementos no nulos en la señal x. En este caso el criterio para saber si cierta señal se puede recuperar o no se basa en el número de elementos no nulos en la señal x y es bastante más complejo que en el caso anterior. En cualquier caso, existen señales que pueden recuperarse con este último criterio y no con el de Nyquist. También existen señales que pueden recuperarse basándose en su frecuencia máxima pero no en su número de elementos no nulos por lo que, para tener el mejor resultado, deberíamos elegir uno de los dos criterios (o cualquier otro) en función de la señal con la que estamos trabajando.

AUTOR: RODRIGO SERNA PÉREZ

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