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7 jul 2016

MATEMÁTICAS EN LOS JUEGOS DE AZAR: LA AGUJA DE BUFFÓN

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Los juegos de azar existen desde tiempos inmemoriales. Se tiene constancia de que los Sumerios y Asirios utilizaban un hueso extraído del talón de animales como caballos u ovejas que tallaban para que, al lanzarlo al aire, pudiera caer en cuatro posiciones distintas. Se piensa que éste es el origen de los dados actuales.

Para el ser humano, en general, los juegos de azar se han convertido en una distracción, en una forma de entretenimiento.  En España el hábito del juego está fuertemente arraigado sobre todo en las participaciones en los distintos productos que nos ofrecen las loterías y apuestas del estado, así como en el aumento paulatino de la participación en las casas de apuestas deportivas.

La aguja de Buffon

La aguja de Buffon

Los juegos de azar son, en parte, los responsables de la aparición de la probabilidad. Concretamente ésta surge en el siglo XVII cuando Pierre Fermat y Blaise Pascal tratan de resolver algunos problemas relacionados con ellos.  Algunos autores indican el origen de la teoría de la probabilidad cuando el matemático Cardano, aficionado a los juegos de azar, escribió en 1520 (aunque no fue publicado hasta 1660 ) “El libro de los juegos de azar”.

En 1777 el conde Buffon en su obra “Ensayo de aritmética moral” introduce una nueva rama de la teoría de probabilidades en la que se estudia los problemas probabilísticos basados en consideraciones geométricas.

En esta obra Buffon investiga el conocido problema de la aguja que se enuncia:

“Je suppose que dans une chambre, dont le parquet est simplement divisé par des joints parallèles, on jette en l’air, une baguette, & que l’un des joueurs parie que la baguette ne croisera aucune des parallèles du parquet, & que l’autre au contraire parie que la baguette croisera quelques-unes de ces parallèles; on demande le sort de ces deux joueurs. On peu joueur cet jeu sur un damier avec une aiguille à coudre o une épingle sans tête.”

Para los no francófonos, podría traducirse:

“Supongamos que en una habitación el suelo se haya dividido en líneas paralelas, se tira un palo y uno de los jugadores apuesta a que el palo no ha cortado ninguna de las paralelas del suelo. El otro, por el contrario, apuesta porque el palo cortará alguna de esas líneas, se pregunta por las probabilidades de ambos jugadores. Es posible jugar este juego con una aguja de coser o un alfiler sin cabeza.”

Vamos a centrarnos en este post en la resolución de  este conocido problema clásico de la teoría de probabilidades.

Consideramos por lo tanto un haz de rectas paralelas equidistantes trazadas sobre un plano horizontal, dispondremos de una aguja perfectamente cilíndrica y de grosor despreciable. Nos preguntamos por la probabilidad de que la aguja corte a una de las líneas paralelas.

Vamos a ir introduciendo algo de notación para acotar el problema. Denotamos por 2d a la distancia entre una recta paralela y la recta paralela a ella más próxima (Recordemos que son equidistantes). Denotamos también por 2l a la longitud de la aguja.

Para que al lanzar la aguja ésta no pueda cortar a dos líneas paralelas distintas a la vez, suponemos que d>l.

Juegos de azar

Juegos de azar: La aguja de Buffon

¿Cuál es la probabilidad de que la aguja corte a alguna de las rectas paralelas?

Vamos a denotar por M al punto medio de la aguja.  Si la aguja corta a alguna recta, lo hará a aquélla que esté más cerca de su punto medio.

Juegos de azar

Juegos de azar: La aguja de Buffon

Como el punto medio M está más próximo a la recta r que a cualquier otra recta paralela a ella, se debe de verificar que x<l  (Siendo x la longitud del segmento MP tal y como aparece en la gráfica).

Si giramos la aguja en torno a su punto medio M, llegará un momento en el que la aguja dejará de cortar a la recta r.  El punto donde la aguja deja de cortar a la recta r, lo hemos denotado por Q_1 en el dibujo.

Por lo tanto para poder resolver el problema necesitamos tener en cuenta en primer lugar el lugar donde cae el centro de la aguja denotado por M y en segundo lugar el ángulo que forma la aguja con la recta perpendicular a r que pasa por M

La aguja de Buffon

Juegos de azar: La aguja de Buffon

Al ser el ángulo MPQ_1 un ángulo recto, es fácil utilizar la definición de coseno para calcular el ángulo PMQ1

cos(PMQ_1)=\frac{PM}{MQ_1}=\frac{x}{l}

(Recordemos que la aguja mide 2l, y al ser M el punto medio, la distancia de M a cualquiera de los dos extremos será l)

Por lo tanto, si despejamos de aquí, tenemos que el ángulo viene determinado por:

PMQ_1=arccos\frac{x}{l}

Pensemos a continuación en el ángulo PMQ, ¿Qué valores puede tomar?

El ángulo PMQ varía entre 0 y \frac{\pi}{2}, ya que si el ángulo es superior a \frac{\pi}{2} tendremos que el corte se produce a la izquierda, es decir tenemos una situación simétrica a la que tenemos representada.

¿En qué situaciones la aguja cortará a la recta?

Para que la aguja corte a la recta tiene que ocurrir que el ángulo PMQ sea menor o igual al ángulo PMQ_1.

Es decir, tendremos que calcular:

p(PMQ\leq PMQ_1)=\frac{arccos(\frac{x}{l})}{\frac{\pi}{2}}=\frac{2}{\pi}arccos(\frac{x}{l})

Si consideramos ahora el centro de la aguja, denotado por M, la probabilidad de que M caiga en un intervalo de la forma  es (x,x+dx) es \frac{dx}{d}. Así tenemos que la probabilidad de que la aguja corte a la recta r, se calcula como la suma de las probabilidades de que el ángulo PMQ sea menor que PMQ_1, pero al no ser la variable x una variable discreta, no es posible realizar la suma de los infinitos casos, para ello tenemos que recurrir al cálculo integral.

Si denotamos por C_x la distancia del centro de la aguja M a la recta, entonces:

p(C_x)=\int_{0}^{l}\frac{2}{\pi}arccos(\frac{x}{l})\frac{dx}{d}

Para hacer esta integral consideramos en primer lugar el cambio de variable t=\frac{z}{l}, por tanto se tiene que x=lt y dx=ldt.

De esta forma tenemos:

p(C_x)=\int_{0}^{l}\frac{2}{\pi}arccos(\frac{x}{l})\frac{dx}{d}=\int_{0}^{1}\frac{2}{\pi}arccos(t)\frac{1}{d}dt=\frac{2l}{d\pi}\int_{0}^{1}arccos(t)dt

A continuación realizamos el cambio de variable  z=arccos(t), es decir t=cosz, de donde obtenemos que dt=-senzdz. De esta forma la integral se transforma en:

\frac{2l}{d\pi}\int_{0}^{1}arccos(t)dt=\frac{2l}{d\pi}\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}-zsenzdz

Realizamos esta integral utilizando el procedimiento de la integración por partes denotando:

u=-z, dv=senzdz. Por lo tanto du=-dz, v=-cosz.

Así la integral se transforma en:

\frac{2l}{d\pi}\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}-zsenzdz=\frac{2l}{d\pi}[-zcosz-senz]\left.  \begin{array}{c}  0 \\  \frac{\pi}{2} \\  \end{array}  \right.=\frac{2l}{d\pi}

De esta forma tenemos que:

p(C_x)=\frac{2l}{d\pi}

Es decir la probabilidad de que la aguja corte a alguna de las rectas paralelas viene determinada por \frac{2l}{d\pi}.

Obsérvese que al ser d>l y \pi y todos ellos son números positivos, se tiene que 0<\frac{2l}{d\pi}<1, con lo que el resultado es coherente con la teoría de probabilidades.

Este hecho nos da una forma empírica de calcular un valor aproximado del número PI, para ello basta con considerar sobre un papel rectas paralelas a distancia d. Consideramos un palillo de longitud l cumpliendo que 2l=d.

Entonces la probabilidad de que al lanzar el palillo éste corte a alguna de las rectas será

\frac{2l}{d\pi}=\frac{d}{d\pi}=\frac{1}{\pi}

Por tanto, si hacemos una simulación con muchos lanzamientos podemos ir obteniendo aproximaciones de \frac{1}{\pi}

Ya veis queridos lectores las matemáticas ayudan en muchos campos, incluso (y sobre todo) en el azar. Si se os presenta la ocasión de jugar a “la aguja de Buffon” mejor apostad a que no cortará a ninguna línea.

AUTOR: FRANCISCO MORANTE QUIRANTES @fdetsocial

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