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14 ago 2015

EL SELECTO CLUB DE LOS NUMEROS NARCISISTAS

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¿Acaso pueden ser los números narcisistas?

El interés del hombre por los números es tan antiguo como la civilización. No son pocos los pueblos antiguos que se interesaron por los números ya sea por razones prácticas o intelectuales.
Al estudiar los números observamos que en ocasiones se nos presentan con propiedades muy peculiares. Un claro ejemplo son los números primos. Éstos son aquellos que sólo tienen dos divisores propios, el 1 y él mismo.
Analizando un poco más los números podemos observar propiedades más sorprendentes, por ejemplo consideremos el número 153, este número aparentemente no tiene ninguna propiedad importante, pero consideremos la suma de los cubos de sus cifras, esto es:

1^3+5^3+3^3=153

Números narcisistas

Números narcisistas

Es decir la suma de los cubos de sus cifras nos da de nuevo el número original.
Esta sorprendente propiedad da origen a un conjunto de números llamados números narcisistas o números de Armstrong.

Pero seamos más precisos, un número narcisista de n cifras es aquél cuya suma de la n-ésima potencia de sus cifras da lugar a ese mismo número.

Ahora que sabemos de su existencia, surgen una serie de preguntas lógicas sobre este tipo de números:

  • ¿Cual es el número narcisista más pequeño?
  • ¿Cuántos números narcisistas hay?

Vamos a responder a estas preguntas en el presente artículo.
En primer lugar observaremos que por la definición de números narcisistas, todos los números de una cifra evidentemente son números narcisistas, ya que se cumple que:

a^1=a   \forall a\in\{0,1,2,\cdots , 9\}

Sin embargo, si nos olvidamos por un momento de estos números narcisistas triviales, y nos centramos en los números que tienen más de una cifra, ¿Qué ocurre con los números de dos cifras?
Pues bien, es fácil demostrar, que no existen números narcisistas de dos cifras.
Supongamos que N=ab es un número narcisista de dos cifras, esto es N se puede escribir como N=a^2+b^2.
Como N=ab, podemos escribir N como N=b+10a
De esta forma igualando las expresiones obtenemos que:

b+10a=a^2+b^2

Si ordenamos esta expresión tenemos:

10a-a^2=b^2-b

Sacando factor común en ambos miembros, tenemos que:

a(10-a)=b(b-1)

  1. Observemos así, que el miembro de la derecha es un producto de dos números consecutivos, y por lo tanto es siempre una cantidad par.
    pero, ¿Qué ocurre con el miembro de la izquierda?Si a es impar, entonces (10-a) también será impar, y por lo tanto el producto a(10-a) es una cantidad impar. Por lo tanto no es posible que se cumpla la igualdad a(10-a)=b(b-1).
  2. Si a es par, entonces 10-a también será par, y por lo tanto el producto a(10-a) será par. En este caso debemos estudiar bajo qué condiciones se verifica la igualdad a(10-a)=b(b-1).
    Al ser a par, sólo tenemos cuatro posibilidades a\in\{2,4,6,8\} (Nótese que el caso a=0, no se puede contemplar, ya que N=ab, y si a=0, el número tendría sólo una cifra.)
    Vamos a estudiar los casos por separado:
  • Si a=2 en este caso tenemos que b(b-1)=2\cdot 8=16, pero 16 no se puede expresar como producto de dos números enteros consecutivos.
  • Si a=4 en este caso tenemos que b(b-1)=4\cdot 6=24, pero 24 no se puede expresar como producto de dos números enteros consecutivos.
  • Si a=6 en este caso tenemos que b(b-1)=6\cdot 4=24, pero 16 no se puede expresar como producto de dos números enteros consecutivos.
  • Si a=8 en este caso tenemos que b(b-1)=8\cdot 2=16, pero 16 no se puede expresar como producto de dos números enteros consecutivos.Con lo cual acabamos de demostrar que no existen números narcisistas de dos cifras.

Para calcular el número narcisista más pequeño no trivial tenemos que buscarlo entre los de tres cifras.
De tres cifras existen 4 números narcisistas, a saber:

153,370,371 y 407

¿Existe una cantidad infinita de números narcisistas?
La respuesta es que no, para ello consideremos un número de n cifras, entonces la máxima suma de las n-ésimas potencias de los dígitos de un número de n cifras es n\cdot 9^n, pero existe un número natural N, para el cual se cumple

n\cdot 9^n <10^{n-1}, \forall n\geq N

De hecho esta desigualdad es cierta para n>60. Ésto nos demuestra que no puede haber números narcisistas de N o más dígitos. Según nuestra demostración no existen números narcisistas de más de 60 dígitos.
De hecho los números narcisistas más grandes que se conocen tienen 39 dígitos y son:

115.132.219.018.763.992.565.095.597.973.971.522.400
115.132.219.018.763.992.565.095.597.973.971.522.401

Actualmente se conocen 88 números narcisistas contando con los números de una cifra, de los que los más grandes son los escritos anteriormente.
Los primeros de la lista serían:

1,2,3,4,5,6,7,8,9,153,370,371,407,1634,8208,9474,…

Se puede ampliar el concepto de número narcisista de la siguiente forma:
Decimos que un número N es e-narcisita si existe un exponente e, tal que N es la suma de las potencias e-ésimas de sus cifras.
Observamos que de esta definición se deduce que el número de cifras del número N ha de ser menor o igual que e.

Anteriormente hemos demostrado que no existen números narcisistas de dos cifras, pero ¿Existirán números 2-narcisistas?
Obviamente el 0 y el 1, son números 2-narcisista, ya que 0^3=0, 1^2=1 , de hecho son e-narcisista para cualquier valor de e.
Pero no existen más números 2-narcisistas ya que:

  • De los números de una cifra k, los únicos que cumplen que k^2=k es k=0 y k=1.
  • Si existe un número de dos cifras 2-narcisista, sería narcisista, pero hemos comprobado al comienzo del artículo.

Por lo tanto sólo existen dos números 2-narcisista, el 0 y el 1.
Vamos a estudiar a continuación los números 3-narcisistas.

  • De una cifra, tenemos el 0 y el 1.
  • De dos cifras
    Si consideramos un número de dos cifras N=ab, será 3-narcisista si cumple:

N=a^3+b^3

Esto es, se debe de cumplir:

10a+b=a^3+b^3

Agrupando términos y sacando factor común llegamos a:

a(10-a^2)=b(b^2-1)

Es decir

a(10-a^2)=(b-1)b(b+1)

El miembro de la derecha es producto de tres números consecutivos, por lo tanto es par. Razonando como en el caso de números narcisistas de dos cifras, tenemos que
a(10-a^2) es par, y en consecuencia “a” es par, esto es a\in\{2,4,6,8\}
Por otro lado la cantidad a(10-a^2) sólo es positiva para a=2, ya que para el resto de posibles valores de a es negativa, y por lo tanto no es posible.
Analizamos qué ocurre para a=2.
En este caso tenemos que

12=(b-1)b(b+1)

Pero el número 12 no se puede descomponer como producto de tres números consecutivos:

1\cdot 2\cdot 3=6
2\cdot 3\cdot 4=24

Por lo que no existen números 3-narcisistas de dos cifras.

  • De tres cifras. En este caso coinciden con los números narcisistas, esto es 153,370,371 y 407.

En consecuencia los únicos números 3-narcisistas que existen son

0,1,143,370,371, 470

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