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7 feb 2017

Y los números complejos dejaron de ser un misterio…

¿Cómo surgen los números complejos?

Los números complejos actualmente son unos desconocidos para la gran mayoría de los estudiantes de Bachillerato, ya que en el mejor de los casos se aborda una pequeña introducción y las operaciones básicas, así que tenemos que esperar hasta los cursos universitarios para poder adentrarnos en el mundo de los números complejos.

El estudio de los números complejos es muy importante ya que ellos nos permiten con un mínimo esfuerzo poder realizar operaciones que son tediosas y complicadas con las técnicas usuales.

Pero, ¿cómo surgió el concepto de número complejo? Realmente no fue hasta la época del Renacimiento en Italia donde los algebristas de la época comenzaron a estudiar seriamente estos números. Los números complejos aparecieron por primera vez en un libro titulado “Ars Magna” de Girolamo Cardano (1501-1576) publicado en 1545.

Numeros complejos

Fuente: Wikipedia

Cardano planteaba la cuestión “Si alguien te pide dividir 10 en dos partes cuyos productos sean 40, es evidente que esta cuestión es imposible. No obstante, nosotros la resolvemos de la siguiente forma”

El sistema de ecuaciones resultante de este enunciado es:  x+y=10, xy=40.

Cardano dio como soluciones x=5+\sqrt{-15}, y=5-\sqrt{-15}.

Evidentemente estos números son solución del sistema de ecuaciones ya que verifican las dos ecuaciones, sin embargo, nos aparece la raíz cuadrada de un número negativo algo que hasta el momento no se había planteado.

Es común escuchar o leer que los números complejos aparecieron como consecuencia de la imposibilidad de resolver algunas ecuaciones de segundo grado pero esto no es del todo correcto ya que, simplemente, los matemáticos de la época no se interesaban en este tipo de estudios. Pensemos, por ejemplo, en las matemáticas griegas, donde los números negativos no se estudiaban ya que los griegos rechazaban su uso por su poca equivalencia en la geometría.

Pero volvamos con Cardano y los orígenes de los números complejos. Fue Cardano quien dio una fórmula para la resolución de la ecuación cúbica del tipo x^3=ax+b, mediante la fórmula:

x=\sqrt[3]{\frac{b}{2}+\sqrt{(\frac{b}{2})^2-(\frac{a}{3})^3}}+\sqrt[3]{\frac{b}{2}-\sqrt{(\frac{b}{2})^2-(\frac{a}{3})^3}}

Esta fórmula es conocida como Fórmula de Scipione del Ferro – Tartaglia – Cardano.

Pensemos en la ecuación x^3=15x+4. Si aplicamos la fórmula anterior a la ecuación, ésta da como solución:

x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}

Que Cardano dio por válida en aquella época. Sin embargo hubo que esperar treinta años hasta que el ingeniero hidráulico Rafael Bombelli (1526-1572) introdujera un razonamiento que acercara el origen de los números complejos tal y como los conocemos actualmente.

Bombelli pensó que los números \sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}, y \sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}, sólo se diferencian en un signo, por lo tanto parecía lógico que sus raíces cúbicas también se diferenciaran en un signo, es decir, consideró que:

\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}=a+\sqrt{-b}

\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}=a-\sqrt{-b}

De donde al realizar el cálculo de a y b obtuvo que a=2, b=1.

Por lo tanto llegó a que:

\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}=2+\sqrt{-1}+2-\sqrt{-1}=4

Dando así sentido a estas expresiones aparentemente sin sentido de Girolamo Cardano.

Aunque el trabajo de Bombelli fue completamente ignorado por la comunidad matemática de la época hay que decir que hoy día es considerado como el padre de los números complejos. Los números complejos en aquella época fueron rechazados por la comunidad matemática por considerarse  extraños o imposibles.

Fue el propio Descartes (1596-1650) quien bautizó a estos números con el nombre de imaginarios.

En 1673 el matemático inglés John Wallis (1616-1703) dio la primera representación geométrica de los números complejos.

Los números complejos fueron ampliamente utilizados en el siglo XIII y prueba de ello son las aportaciones de Gottfried von Leibnitz (1646-1716) y Johan Bernoulli (1667-1748) en su utilización en la resolución de integrales.

Fue Leonhard Euler (1707-1783) el primero en usar la notación i=\sqrt{-1}, además de hacer un uso más amplio de los números al relacionar la exponencial compleja con las funciones trigonométricas mediante la expresión:

e^{ix}=cosx+isenx

Y dando a conocer la famosa identidad que lleva su nombre e^{i\pi}=-1.

En 1797 el matemático Carl Friedrich Gauss (1777-1856) en su tesis doctoral dio la primera prueba correcta del conocido Teorema Fundamental del álgebra. Hasta el momento algunos matemáticos como Descartes o Albert Girard (1595-1632) ya habían apuntado que este resultado era correcto pero sin dar ninguna prueba válida del mismo.

William Rowan Hamilton (1805-1865) fue el primero en dar la definición algebraica rigurosa de números complejos como pares de números reales.

No podemos pasar esta breve reseña sobre el origen de los números complejos sin mencionar a Agoustin –Louis Cauchy (1789-1857) quien fue el primero en dar una definición abstracta de los números complejos como clases de congruencias de polinomios reales, utilizando las clases de congruencias de números enteros definidas en los trabajos de Gauss.

Bibliografía:

D.E. Smith, History of Mathematics (Vol I-II). Dover 1958

Boyer, Carl B, Historia de las matemáticas. Alianza editorial.

AUTOR: FRANCISCO MORANTE QUIRANTES @fdetsocial

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