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29 dic 2017

LA PARADOJA DE BELL

La paradoja de Bell: las naves espaciales.

La Relatividad Especial, formulada por Albert Einstein por primera vez en 1905, es sin duda una de las teorías físicas más bellas que el ser humano ha concebido a lo largo de la historia. De hecho, más que de una teoría, se trata de una descripción del marco espacio-temporal con el que tienen que ser compatibles todas las demás teorías físicas. Sus consecuencias a menudo atentan profundamente contra el sentido común y nuestra experiencia cotidiana. Surgen de esta manera multitud de paradojas y resultados inesperados para nuestra mentalidad “clásica”, como las bien conocidas dilatación del tiempo, contracción de la longitud, o la paradoja de los gemelos. En esta ocasión abordaremos la paradoja de las naves espaciales, relacionada con el resbaladizo concepto de sólido y movimiento rígidos en Relatividad.

John Stewart Bell (1928- 1990).

John Stewart Bell (1928- 1990).

La paradoja de las naves espaciales es también popularmente como paradoja de Bell. Aunque fue primeramente propuesta por E. Dewan y M. Beran en 1959, no fue ampliamente conocida hasta que J.S. Bell (el mismo que introdujo las famosas “desigualdades de Bell” en Mecánica Cuántica) formuló su particular versión, que es la que actualmente suele describirse en los textos de Relatividad.

Consideremos dos naves espaciales idénticas B y C, una delante de la otra, en reposo respecto a un hangar espacial, y separadas por una distancia L medida por un observador inercial A situado en el hangar (ver figura).

Representación gráfica de la paradoja de Bell

Representación gráfica de la paradoja de Bell

Conectemos las naves mediante una cuerda de longitud exactamente igual a L, muy frágil, que suponemos se rompe ante cualquier tracción que supere cierto valor de rotura. Las naves disponen de motores de arranque idénticos que se activan simultáneamente (respecto del hangar) durante un cierto intervalo de tiempo \Delta t, medido por el reloj de A, que proporcionan a las naves una aceleración propia constante (es decir, que acelerómetros situados en el interior de cada nave marcarían un mismo valor constante durante el intervalo \Delta t).

Después, los motores se apagan simultáneamente, de manera que las naves quedan moviéndose por el espacio con velocidad constante  respecto al hangar. La pregunta es, ¿se rompe la cuerda tras el proceso de aceleración?

Naturalmente, desde el hangar las dos naves se comportan de forma idéntica, por lo que no hay razón para pensar que la cuerda se rompa. La distancia entre las naves durante el proceso de aceleración será siempre igual a  y continuará así hasta el régimen final.

Sin embargo, veamos qué se observa desde cada una de las naves. Recordemos primero que, por uno de los resultados básicos de la Relatividad Especial, la contracción de Lorentz, la longitud de un objeto moviéndose a velocidad  respecto del observador que la mide disminuye en un factor 1/\gamma, siendo \gamma =(1-\frac{v^2}{c^2})^{-1/2}.Puesto que en el régimen final el observador en A mide una distancia L, desde cada una de naves se verá que la distancia que la separa de la otra irá aumentando hasta acabar alcanzando un valor final de L´=\gamma L (nótese que en el régimen final de velocidad constante respecto de A, las naves observan la cuerda en reposo). De esta manera, los pilotos de las naves observarán que la cuerda se rompe en algún momento del proceso de aceleración, justo cuando el incremento de la distancia supere su valor límite de rotura.

Entonces, ¿se rompe  finalmente la cuerda? Desde luego, el hecho de que se rompa o no debe ser absoluto, independientemente de quién la observe. Como anécdota, Bell contó que tras haber sometido esta cuestión a votación entre los físicos del CERN de Ginebra, se encontró con una marcada división de opiniones, entre los que aseguraban que la cuerda se rompe (tal y como observarían los pilotos de las naves) o permanece intacta (como aseguraría el observador A situado en el hangar).

La respuesta a esta situación, aparentemente contradictoria, necesita de una correcta comprensión del concepto de movimiento rígido relativista (y no la de sólido rígido, que no existe en Relatividad). Esta noción fue introducida por el físico alemán M. Born. Sin entrar en detalles técnicos, un cuerpo extenso se mueve rígidamente si, localmente, las distancias (infinitesimales) entre sus constituyentes materiales permanecen constantes. En otras palabras, si cada partícula del cuerpo observa que sus vecinas ni se acercan ni se alejan. Sin embargo, esto no implica que otros observadores midan también una longitud constante. De hecho, en general verán que cada partícula del sólido se mueve a una velocidad distinta, e incluso cada una de ellas tendrá una aceleración propia diferente.

Y esta es la clave para resolver la paradoja. Realmente, ¿se mueve la cuerda rígidamente? La respuesta es negativa, a pesar de que el observador del hangar A mida siempre una distancia constante entre las naves (y por tanto, una longitud constante de la cuerda). La longitud propia de la cuerda, la que miden los pilotos de las naves, no se mantiene invariante, sino que aumenta durante el proceso de aceleración. Teniendo en cuenta que la resistencia a las tensiones proviene, en última instancia, de los enlaces atómicos y moleculares, y que éstos determinan la longitud propia de la cuerda (y no la longitud medida por otros observadores), concluimos que, efectivamente, la cuerda se romperá. El observador A del hangar notará que sobre la cuerda aparecen tensiones hasta su ruptura, aunque mida siempre la misma longitud.

Podemos preguntarnos ahora, ¿cómo debemos acelerar las naves para que el movimiento de la cuerda sea rígido? Pues bien, como ya hemos apuntado previamente, la longitud natural, es decir, la medida por observadores en reposo relativo con la cuerda, debería mantenerse constante. En contra, un observador en el hangar vería que las naves se acercan y que la cuerda se contrae. Los diferentes puntos de la cuerda experimentarían aceleraciones diferentes, que la deformarían hasta que las fuerzas elásticas compensasen las aceleraciones diferenciales, generando tensiones en la cuerda. Es más, la nave B no podría adquirir un valor de la aceleración propia por encima de c^2 /L, ya que la aceleración en el otro extremo de la cuerda, donde está la nave C, resultaría infinita. No obstante, este valor máximo de la aceleración propia es extraordinariamente grande, y es completamente imposible de alcanzar por ningún cuerpo extenso cotidiano.

Autor:  Daniel de la Fuente Benito

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Referencias

BOYA, L.J., SANTANDER, M.: “Paradojas relativistas”, Revista Española de Física, 19, 17-24 (2005).

DE LA FUENTE, D., SALAMANCA, J.J.: “El sólido rígido en Relatividad: paradojas de Bell y Ehrenfest”, Revista Española de Física, 31(1), 11-15 (2017).

6 Responses

  1. Angel Ferrández

    En el cuarto párrafo dice “Conectemos las naves mediante una cuerda de longitud exactamente igual a ,” y debería decir “Conectemos las naves mediante una cuerda de longitud exactamente igual a L,”

      1. Daniel de la Fuente

        Además de la “L” que señala Ángel Ferrández (gracias Ángel), falta otra “L” al final de la frase del quinto párrafo: “Puesto que en el régimen final el observador en A mide una distancia ,”.

        1. También corregido, Daniel. Tu entrada nos ha servido para detectar una incompatibilidad entre 2 plugins relacionados con fuentes de letra y la inclusión de código en LaTex. Muchas gracias.

  2. Pablo

    Magnífico artículo. La posible contradicción que puede apreciarse desaparece al no poder crearse el estado de cuerda rota y no rota simultáneamente. La explicación podría profundizar algo más desde el punto de vista matemático en la teoría de Born pero es muy buena. Gracias !!

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