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14 jun 2017

Pi, un número no tan conocido

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Si preguntamos a cualquier persona por el número más famoso seguro que nos contesta que el número Pi, y es que este número ha copado el número uno de la fama en lo que a números se refiere. El número \pi ha fascinado a matemáticos de todos los tiempos y muchos de ellos han invertido mucha parte de su investigación en calcular su valor.

Pero, ¿de dónde surge el concepto de \pi?. Se ha observado que dada una circunferencia, sea del radio que sea, el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro es una cantidad constante, a dicha cantidad la denominamos con la letra griega \pi.

Pi

Pi

Esta relación se ha estudiado desde tiempos remotos, tanto es así, que ya en el papiro de Rhind (año 1700 a.C) y el papiro de Moscú (1850 a.C), ya se muestra al escriba Ahmés cotejando la evaluación del área de un círculo inscrito en un cuadrado. Aunque estos papiros son una copia de otros documentos más antiguos.

El número \pi, también aparece en la Biblia, aunque para ser realistas debemos de buscar bien, pues no lo menciona explícitamente.  Concretamente menciona:

“Hizo luego un mar de metal fundido, de diez codos de borde a borde; era perfectamente redondo, de cinco codos de altura, y un hilo de treinta codos ceñíale alrededor”

Reyes I, 7:23

A partir de esta afirmación, si dividimos la longitud de la circunferencia entre su diámetro se obtiene una aproximación de ? bastante pobre, concretamente se obtiene el valor 3.

Hoy día sabemos que este número es un número irracional, es decir que posee infinitas cifras decimales no periódicas pero a lo largo de la historia han sido muchos los esfuerzos de matemáticos por obtener información y aproximaciones de este número. En este post no pretendo dar un detallado recorrido histórico de dicha evolución, pero sí aportar algunas ideas de cómo el conocimiento de este número ha ido variando a lo largo del tiempo, mostrando así el creciente interés por él de la comunidad matemática.

En la época babilónica se daba una aproximación de \pi de 28/8 es decir de 3,125. Y más o menos por la misma época los matemáticos egipcios aproximaban \pi por 256/81 es decir por 3,16049…

Hubo que esperar hasta Arquímedes en el siglo III a. C. hasta obtener una estimación teórica de todo su valor. Arquímedes estableció que el valor de \pi está comprendido entre 223/71 y 22/7, es decir que \frac{223}{71}<\pi<\frac{22}{7} .

En el siglo III. d.C., el matemático chino Liu Hui realizó el primer algoritmo iterativo para calcular de forma aproximada el valor de \pi. Hui, al aplicar su algoritmo obtuvo un valor aproximado de \pi de 3,14159.  El algoritmo empleado por Hui es muy similar al que empleó en su día Arquímedes para la estimación de \pi.

pi1

Siguiendo el razonamiento de Arquímedes fueron bastantes los matemáticos de la época que se adentraron en este estudio de la aproximación de este número irracional. Por citar a alguno de ellos, el matemático Zu Chongzhi determinó en el año 480 un valor aproximado de \pi comprendido entre 3,1415926 y 3,1415927.

Sin embargo todos los esfuerzos por calcular \pi de forma exacta fracasaban pues sólo se podían obtener aproximaciones o estimaciones del mismo.

Fue a partir del siglo XVII cuando se produjo una verdadera revolución en la manera de calcular, que hasta aquellos entonces podríamos calificar de rudimentaria teniendo en cuenta las herramientas que disponemos actualmente. El descubrimiento de las series infinitas vino a revolucionar la forma de realizar cálculos en este sentido.

En aquella época fueron muchos los estudiosos de este número, y muchos los decimales calculados de \pi  de forma exacta, sin embargo esas proezas del cálculo quedaban pronto en el olvido ya que se fueron sucediendo muchas aproximaciones de pi, cada una con más cifras decimales que las anteriores en muy poco tiempo.

 Sirva como ejemplo que Adrien Romain (1561-1615) obtuvo 15 decimales, y poco después Ludolph de Colonia (1539-1610) obtiene 35 cifras decimales. Ludolph se vio tan orgulloso de tal cálculo que ordenó que escribieran esta aproximación de \pi en su tumba.

Tal es la transcendencia del número Pi que figuras de la talla de Newton se adentraron a calcular cifras decimales de este número. En cierta ocasión Newton escribió “Me avergüenza decirles hasta qué cifra llevé estos cómputos, pues en aquella época no tenía otra ocupación”, refiriéndose al cálculo de decimales de \pi.

También el mismísimo Leonhard Euler (1707-1783) puso su atención en esta relación que parecía fascinar a matemáticos de todos los tiempos. Y es precisamente a él, a Euler  a quien le debemos la costumbre de llamar \pi a esta relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.  Aunque no fue el primero en denotarlo así, si fue el que popularizó esta notación de Pi.

Euler llegó a calcular Pi con 20 decimales exactos ¡en una sola hora!, para ello se ayudó de la fórmula \frac{\pi}{4}=5arctg\frac{1}{7}+8arctg\frac{3}{79}. Con este tipo de ayuda cualquiera lo calcula ¿no?

La letra designada para este número, la letra griega \pi proviene de la inicial de las palabras de origen griego “periferia” y “perímetro” de un círculo.

Hasta ahora sólo hemos ido barriendo una parte de la historia de cómo los matemáticos de todas las épocas intentaban calcular Pi de forma exacta pues recordemos que se pensaba que era un número racional,  es decir que podía expresarse como una fracción de números enteros. Sin embargo no fue hasta 1761 cuando el matemático, filósofo, astrónomo y físico francés Johann Heinrich Lambert (1728-1777) demostró que el número Pi es un número irracional, es decir que consta de infinitas cifras decimales no periódicas, y por lo tanto no podemos calcularlo con todas sus cifras decimales de forma exacta.

Así pues, este descubrimiento condena a la comunidad matemática a trabajar constantemente con aproximaciones de Pi ya que no se puede calcular de forma exacta.

En la era moderna, el interés por \pi no ha decaído, y con la revolución de los ordenadores, se han calculado una gran cantidad de cifras decimales. En 2009 se hallaron más de dos billones y medio de decimales de Pi mediante el uso de una supercomputadora compuesta por 640 computadoras de alto rendimiento. Para ello invirtieron nada más y nada menos que ¡73 horas y 36 minutos!

A pesar de lo que podáis pensar, todavía se siguen calculando más cifras decimales de Pi, de hecho en 2011, se llegaron a calcular 10 000 000 000 000 cifras decimales exactas de Pi.

Homenaje a Pi en Calcuta. Imágen de wikipedia

Homenaje a Pi en Calcuta. Imágen de wikipedia

El número \pi ha fascinado a matemáticos de todos los tiempos, e incluso en nuestra era este número goza de una gran reputación. De hecho, el físico Larry Shaw tuvo la feliz idea de aprovechar la coincidencia de que en el  formato de calendario usado en los Estados Unidos se escribe Mes/Día , para celebrar el día 3 de Marzo, que escrito en el formato americano se escribiría 3/14 para celebrar el día de Pi. Esta ocurrencia ha tenido muy buena acogida en la comunidad y, aunque es un día no oficial, en todo el planeta el 3 de Marzo se celebra el día de Pi.

AUTOR: FRANCISCO MORANTE QUIRANTES @fdetsocial

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