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22 jun 2015

PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE, POSICION Y VELOCIDAD

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Principio de incertidumbre de Heisenberg

Cada especialidad profesional tiene sus peculiares métodos para obtener los datos que necesita. Así, cuando un físico quiere predecir el movimiento de una partícula en un instante (que puede ser futuro o pasado) basta con que le haga chocar con algo y estudie los  comportamientos posteriores  (dirección, velocidad, sentido y masas respectivas). Ni siquiera hace falta ver todo el trayecto, basta con presenciar un corto tramo en un intervalo de tiempo para definir totalmente el hecho… a nivel macroscópico. He aquí el quid de la cuestión. ¿Por qué el principio de incertidumbre fue una revelación de tanto calado?

cantidad de movimiento

Principio de incertidumbre: cantidad de movimiento

Veamos cómo un ingeniero puede explicar este hecho. En un primer momento la física clásica estaba apalancada en el concepto descrito de que se podía medir posición y velocidad de una partícula  con la precisión que se quisiera limitada, únicamente, por la tecnología de la aparatología del momento pero, no es cierto.

En la mecánica cuántica existe un límite fundamental para la precisión alcanzable en la medida independientemente del equipo de medida empleado. Veamos el motivo.

Thomas Young, en los albores del estudio de la física cuántica ideó un experimento que nos ayudará a entender este complejo concepto del principio de incertidumbre denominado “doble rendija”.

Supongamos un foco emisor que lanza pelotas de golf contra una pared donde se han realizado dos aberturas. Al otro lado se colocan, una junto a otra, sin separación entre ellas, cajas que recogerán las pelotas que atraviesen la pared.

Heisemberg, Thomas Young

Principio de incertidumbre: doble rendija

Las posibilidades son:

  1. Rebotan en la pared y no la atraviesan
  2. Atraviesan uno de los huecos de la pared limpiamente sin desviar su trayectoria y acabando en una caja
  3. Atraviesan la pared golpeando el extremo de alguna de las aberturas, lo que cambia su trayectoria, pero vuelve a alcanzar alguna de las cajas.

El número total de bolas que llega a una posición dada será la suma del número de bolas que atraviesan ambas rendijas.  La probabilidad de que lleguen bolas a una caja cuando ambas rendijas están abiertas será P_{12}=P_1+P_2 siendo P_1 la probabilidad de encontrarla con la rendija Nº 2 cerrada y P_2 la probabilidad de encontrarla con la rendija Nº 1 cerrada. Este caso se conoce como de “no interferencia”.

Si el experimento lo hacemos con una masa de agua en un lago donde la caída de un cuerpo genera un foco de ondas que alcanzan las rendijas de un dique y  nuestros detectores, ahora, fueran boyas que se elevan al recibir la cresta de la onda y se hunde al recibir el valle, los resultados varían debido al hecho cada boya podrá elevarse debido al movimiento de la onda difractada por una u otra rendija pero, también, puede sufrir una elevación por el efecto aditivo de ambas y no alterarse debido a la simultaneidad de una cresta y un valle que proceden, cada una, de una rendija. Así, sabiendo que la energía de la onda depende del cuadrado  de su altura máxima, podemos escribir que:

h_{12}=h_1+h_2

siendo h_{12} la altura combinada y h_1 y h_2 las alturas (positivas o negativas) de cada onda

Así pues

I_{12}=h^2_{12}      [1]

Si cerramos la rendija 2 manteniendo abierta la 1 la perturbación la causará, exclusivamente, la onda 1:  I_1=h^2_1

Análogamente al cerrar la rendija 1 manteniendo abierta la 2, tendremos:   I_2=h^2_2

Sustituyendo en [1]

I_{12}=h^2_{12}=(h_1+h_2)^2=h^2_1+h^2_2+2h_1h_2

Como se ve, el resultado dista de ser la suma de las energías de cada onda en el punto y esto es debido a la existencia de interferencias.

En el caso de trabajar con electrones partiendo de que fueran partículas, habrían de comportarse como el caso de las bolas, sin embargo, al hacer el experimento con ambas rendijas abiertas, se puede medir un descenso del número de electrones con respecto al mismo punto con alguna rendija cerrada. ¿Por qué? Porque se produce el fenómeno de interferencia,  ¡como ocurría en las ondas!

En el caso de electrones, no hablamos de la amplitud de onda porque no medimos la intensidad del movimiento real de la onda sino la probabilidad de encontrar en ese punto al electrón y, por ello, hablamos de  amplitud de probabilidad cuántica y lo denotaremos por a

Para el funcionamiento con la rendija 1 cerrada:

P_2=a_2^2

Para el funcionamiento con la rendija 2 cerrada:

P_1=a_1^2

Con ambas rendijas abiertas tenemos:

P_{12}=(a_1+a_2)^2

y, como ocurría en el caso de las ondas de agua

P_{12}\neq P_1+P_2

Es por ello que los electrones muestran interferencias de carácter ondulatorio.

Volviendo al principio de incertidumbre, suponiendo que sobre una de las bolas que lanzamos contra la rendija efectuáramos las medidas oportunas, aplicando la mecánica newtoniana podríamos conocer todos los parámetros de su trayectoria. ¿Por qué no ocurre igual con los electrones?  Si volvemos al ejemplo de la rendija, al querer conocer si un electrón ha pasado por ella habríamos de iluminar la misma de forma que veamos un destello al cruzar el hueco. Si lo hacemos para ambas rendijas percibimos el mismo comportamiento que si fueran bolas pero no concuerda con el resultado que obteníamos como ondas en caso de no iluminar las rendijas dado que no podemos reducir la intensidad de luz porque bajaríamos el tráfico de fotones por segundo y, por tanto, habría electrones que no serían contabilizados al pasar desapercibidos entre dos fotones consecutivos. Esto alteraría el cómputo final por no saber qué camino han escogido los que no han sido detectados.

El problema radica en que la energía luminosa se desplaza en bloques y hacer uso de la luz, como no hay otra forma, para detectar una partícula, implica aplicar “golpes cuánticos” a los electrones alterando su momento (cantidad de movimiento, producto de su masa por la velocidad).

Así pues, llegamos al planteamiento final del principio de incertidumbre debido al prestigioso físico  Werner Heisenberg donde se demuestra que la incertidumbre en el momento (P) y en la posición (X) van ligados. Esto es así porque para determinar con mucha precisión la posición es necesario usar luz de longitud de onda \lambda muy corta ya que ésta determina la distancia mínima con la que se puede localizar  la partícula. Una   muy corta implica una frecuencia muy alta dado que  \lambda =c\cdot T = \frac{c}{f}  (siendo “c” la velocidad de la luz,  “T” el período de la onda en segundos y “f” la frecuencia del pulso de luz, en Hz).

Como E=h\cdot f  donde  ‘E’ es la energía del fotón,  “h” la constante de Plank  (6.628\times 10^{-34}) la medición provocará un golpe de energía que incrementará el momento del sistema.

Análogamente si queremos conocer el momento con mucha precisión deberemos dar  un golpe muy pequeño y, de acuerdo con la fórmula de Plank esto implica usar luz de baja frecuencia lo que implica una longitud de onda larga que obliga a tener una gran incertidumbre  en la posición medida.

La expresión matemática será: (\Delta X)\cdot (\Delta P)\approx h o, en términos más informales, “el producto de la incertidumbre de la posición y la incertidumbre del momento es aproximadamente igual a la constante de Plank” y resulta una de las ecuaciones claves de la mecánica cuántica.  El valor de la constante de Plank es tan minúsculo que las restricciones de Heisenberg sobre la precisión de la medida tienen un efecto despreciable sobre las observaciones cotidianas macroscópicas por lo que, en bolas de billar, aviones, o lápices, estos fenómenos cuánticos se consideran despreciables predominando la mecánica newtoniana.

En posteriores artículos trataré de desvelar de forma más cualitativa que cuantitativa cómo se organizan atómicamente los elementos para que puedan existir las distintas propiedades mecánicas, físicas y químicas de los objetos que nos rodean.

AUTOR: FCO JAVIER LUQUE

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