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25 ene 2018

¿Puede una curva rellenar todo un plano?

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Es fácil imaginar que entre los extremos de una línea pueden contarse infinitos puntos al igual que ocurriría si pretendiéramos contar los puntos que un cuadrado alberga  en su interior pero ¿podemos ordenar los infinitos puntos de la recta de tal manera que rellenásemos  un cuadrado?

Tratamiento de imagen con diferentes algoritmos del proceso Dithering. Fuente: https://commons.wikimedia.org

Tratamiento de imagen con diferentes algoritmos del proceso Dithering.
Fuente: https://commons.wikimedia.org

Si lo pensamos un poco parece imposible  puesto que una línea tiene dimensión uno y un cuadrado dimensión dos. Sin embargo en 1878 George Cantor (1845-1918) construyó una biyección entre el intervalo unidad [0,1] y el cuadrado unidad [0,1]x[0,1]. De hecho Cantor estableció un orden en el infinito estableciendo toda una serie de distintos infinitos. Puedes leer más sobre este tema aquí.

Sin embargo en 1879, sólo un año después de esta impactante demostración de Cantor, el matemático alemán E. Netto (1848-1919) demostró que la aplicación dada por el joven Cantor no era continua en ningún punto. De hecho Netto demostró que no podía existir ninguna biyección continua entre un intervalo y un cuadrado. De forma que volvía a prevalecer el sentido común en este tema, parecía lógico que de forma continua ninguna curva pudiera deformarse para llenar un cuadrado.

Y así se creyó hasta que apareció Giuseppe Peano (1858-1932), este matemático italiano  construyó en 1890 una curva que “llena el cuadrado” aunque, claro está, ésta no podía ser biyectiva por el resultado anterior de Netto, de hecho la aplicación dada por Peano no es inyectiva.

Vamos a describir a continuación el procedimiento para obtener la ya mencionada curva de Peano.

En primer lugar consideramos un segmento de longitud unidad. En el primer paso sustituimos ese segmento de longitud unidad, por 9 segmentos, cada uno de longitud 1/3, que situamos como se indica en la figura:

curva02

A continuación en un segundo paso, sustituimos cada uno de los nueve segmentos que se han formado, por otros nueve segmentos iguales de forma similar. De esta forma en el siguiente paso tendremos la siguiente figura:

curva03

Realizamos un proceso iterativo, sustituyendo cada uno de los segmentos obtenidos por nueve segmentos de forma similar a los escogidos en la primera etapa y de longitud la tercera parte de la longitud del segmento original. Así en dos pasos más del proceso iterativo tenemos las figuras:

curva04

Se puede demostrar que la dimensión fractal de esta curva es 2, es decir, que esta curva rellena el cuadrado.

Por tanto Peano dio un ejemplo de una curva continua capaz de pasar por todos los puntos de un cuadrado.

Tan sólo un año después de que Peano diera a conocer a la comunidad matemática su ya mencionada curva, David Hilbert (1862-1943) en 1891 realizó una variación de la curva de Peano y creó una curva que rellena completamente el cuadrado. La curva obtenida mediante este algoritmo se denomina hoy día curva de Hilbert y su algoritmo es el que sigue:

Consideramos un  cuadrado de lado unidad. Dividimos el cuadrado en cuatro partes iguales, y unimos mediante una poligonal los cuatro centros de estos cuadrados

curva05

A continuación dividimos cada cuadrado en cuatro partes y volvemos a unir los centros de todos los cuadrados mediante una sola curva. Obtenemos así el siguiente orden en la construcción de la curva:

curva06

Volvemos a repetir el proceso, dividiendo cada cuadrado en cuatro partes iguales y uniendo los centros de cada uno de estos cuadrados siguiendo el patrón de la figura obtenida en el paso anterior. Obtenemos la figura:

curva07

Las siguientes iteraciones de esta curva nos dan las siguientes imágenes:

curvs08

Esta construcción, al igual que la de Peano, nos da una curva que rellena al cuadrado completamente.

Hoy día la curva de Hilbert es utilizada en el tratamiento de imágenes, en un proceso que se conoce con el nombre de dithering. Esta técnica de computación gráfica es utilizada para crear la ilusión de profundidad de color en imágenes con una paleta de colores limitada.

La curva de Hilbert ofrece una alternativa al escaneo de una imagen línea a línea, lo que permite, por ejemplo crear difuminados o degradados de una calidad superior, ya que difuminar a lo largo de la curva de Hilbert, al ser una curva irregular para nuestra capacidad de visión, elimina el problema de la adyacencia de puntos que posee un escaneo en líneas horizontales.

El descubrimiento de este tipo de curvas, que chocan en principio con la intuición pusieron en tela de juicio la noción de dimensión en figuras geométricas. Este tipo de curvas se conocen como fractales. Benoît B. Mandelbroot (1924-2010) demostró que este tipo de curvas abundan en la naturaleza, y por lo tanto se hace necesario su estudio exhaustivo, ya que se escapaban del estudio de la geometría tradicional.

AUTOR: FRANCISCO MORANTE QUIRANTES @fdetsocial

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