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25 nov 2015

RELATIVIDAD GENERAL- GEOMETRÍAS NO EUCLÍDEAS: DE NEWTON A KANT

La Relatividad General alcanza 100 años en plena forma.

¿Cómo surgen las geometrías no euclídeas?

En matemáticas a menudo acostumbramos a definir un objeto definiendo lo que no es y en este artículo no iba a ser menos. Para los menos iniciados en la materia empezaremos por enunciar las geometrías no euclídeas como aquéllas (valga la redundancia) que no son euclídeas (o euclidianas), esto es, toda geometría que difiere en cuanto a las propiedades (axiomas y postulados) establecidos por Euclides hace ya algún tiempo.

Euclides el "padre de la geometría"

Euclides el “padre de la geometría”

En su libro Elementos de la Geometría, Euclides partía de unas nociones básicas como la de punto, recta, y plano así como unas hipótesis, los 5 postulados de la geometría euclidiana, a saber:

  • Una línea recta puede ser dibujada uniendo dos puntos cualesquiera del espacio.
  • Un segmento de línea recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.
  • Dado un segmento de línea recta puede dibujarse un círculo con cualquier centro y distancia.
  • Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
  • Si una recta corta a otras dos rectas de tal manera que la suma de los ángulos interiores del mismo lado sea menos que la suma de dos ángulos rectos entonces ambas rectas se cortan, al prologarlas, por el lado en el que están dichos ángulo. Este postulado se conoce con el nombre de postulado de las paralelas.

En la actualidad, desde que comenzamos nuestra etapa del colegio, se nos ha familiarizado con distintos objetos geométricos y, desde el punto de vista de nuestros conocimientos geométricos, los postulados de Euclides son, cuanto menos, evidentes. Sin embargo, no todo es tan sencillo. En el libro ya nombrado, Euclides demostraba numerosos teoremas de la geometría (como el famoso Teorema de Pitágoras) basándose únicamente en las premisas enunciadas. Así pues, en un sentido más filosófico que matemático, se podría decir que la verdad o realidad de la geometría se resumía en la verdad de aquellos axiomas, razón por la cual nació la necesidad de demostrarlos. Así, durante años, numerosos matemáticos intentaron sin éxito demostrar cada postulado a partir de los otros lo que nos lleva al quinto postulado, quizás, el más importante, sobre las rectas paralelas.

Tras años de fracasos sin consuelo en pos de reafirmar los postulados se empezó a considerar el hecho de que hubiese geometrías que no cumpliesen el quinto postulado. Estas geometrías se conocen actualmente con el nombre de geometrías no euclídeas. La Geometría Hiperbólica es uno de estos casos. El primer indicio viene de la mano del conocido Immanuel Kant, formalizado más adelante por varios matemáticos que buscaban una geometría coherente que no verificase el axioma de las paralelas.

Fue a principios del XIX cuando personajes como Gauss, Lobachevski, Bolyai, y Schweickard lograron construir, de forma independiente, lo que hoy conocemos como geometría hiperbólica. La idea que siguieron fue la misma: demostrar el quinto postulado por reducción al absurdo llegando a la construcción de una geometría nueva

representación de disco por Klein-Beltrami

Geometría no euclídea (Geometría hiperbólica)  representación de disco por Klein-Beltrami

Una nota interesante: Gauss no llegó a publicar escritos sobre la geometría no euclidiana por lo que Nikolai Ivanovich Lobachevski y János Bolyai recibieron el honor de su descubrimiento oficial.

Esta geometría, la hiperbólica, tenía ciertas propiedades como el hecho de que por un punto exterior a una recta dada podían pasar más de una recta que no cortase a la original, y que la suma de los ángulos internos de un triángulo es menor de 180º sexagesimales (la curvatura del espacio es negativa) lo cual, como ya sabemos, no ocurre en la euclídea donde la suma es exactamente 180º (la curvatura es nula).

No fue hasta 1868 cuando el matemático Eugenio Beltrami consiguió dar forma visual a la geometría hiperbólica proponiendo el modelo de la pseudoesfera y además demostró que dicha geometría coincide con la de cierta superficie y Felix Klein dio la interpretación proyectiva.

Geometrías no euclídeas: Visualización de las tres geometrías de curvatura constante: Elíptica (>1), Hiperbólica (<1), Euclídea (1)

Geometrías no euclídeas: Visualización de las tres geometrías de curvatura constante:
Elíptica (>1), Hiperbólica (<1), Euclídea (1). Modelo porpuesto por Beltrani (1835-1900)

El segundo modelo de geometría no euclidiana fue el de Geometría Elíptica. En ésta la curvatura es positiva, razón por la que la suma de los ángulos internos de un triángulo es mayor de 180º. Aquí cualquier punto del espacio resulta indistinguible de cualquier otro. Como se observa en la anterior imagen, un ejemplo típico de geometría elíptica es la esfera n-dimensional (en el caso de la figura de dimensión n = 3). Cabe señalar que en estas geometrías las geodésicas se comportan como rectas en geometrías euclidianas, tema que trataremos más adelante en otro artículo con el fin de amenizar el actual.

En la geometría hiperbólica se incumplía el axioma de las paralelas propuesto por Euclides en cuanto a la unicidad. Ahora, con la elíptica, cuestionamos la existencia. Es decir, en la superficie de una esfera (una subvariedad bidimensional del espacio tridimensional usual) por ejemplo, no podemos hallar rectas paralelas. Simplemente no existen. Tenga en cuenta el lector que al cambiar un espacio plano (geometría euclídea) por otro, como lo es la esfera, varían a su vez los conceptos de “recta” y “paralelismo”. Es lógico pensar que las propiedades de un espacio cambiarán o se verán afectadas en tanto cambie dicho espacio, siempre obedeciendo cierta coherencia u orden que exige la matemática. Así para entender este artículo debemos abandonar el pensamiento intuitivo con el que crecemos sobre punto y recta y todo lo que concierne a una mente euclidiana (punto de referencia de los pensamientos de Kant a los que aludíamos al comienzo sobre la geometría, considerando los axiomas o postulados como conocimientos a priori).

Llegados a este punto es preciso hacer una aclaración que quizás el lector se estuviese preguntando durante la lectura. Para este artículo nos hemos restringido al caso de espacios homogéneos, esto es, aquellos cuya curvatura es constante. Dentro de los cuales podemos considerar los tres tipos de geometrías. En un espacio no homogéneo existen una infinidad de geometrías no euclidianas, razón por la cual nos hemos restringido al caso homogéneo.

Geometrías no euclídeas: Bernhard Riemann

Geometrías no euclídeas: Bernhard Riemann

En el transcurso de la historia de la geometría llega el turno de Riemann que introduce el concepto de Geometrías Riemannianas referente a geometrías no euclídeas que de forma local (restringiendo el espacio a otro mucho más pequeño) se comportan como euclídeas. Demostró además que las geometrías que acabamos de ver no son más que casos particulares de geometrías riemannianas e introdujo el concepto de “tensor de curvatura” siendo este constante en espacios homogéneos y variable dependiendo de en qué punto se evalúe en los no homogéneos.

Basándose en las ideas propuestas por Riemann,  Einstein se zambulle en la cuestión de la estructura geométrica del Universo en su Teoría de la Relatividad General. Demuestra que dicha geometría, la conocida como geometría del espacio-tiempo, tiene curvatura lo que en términos físicos sería el campo gravitatorio. Observó además que los cuerpos siguen las trayectorias más rectas posibles dentro de esta peculiar geometría, “rectas” a las que anteriormente nos hemos referido como geodésicas.

Geometrías no euclídeas

Geometrías no euclídeas: Visión geométrica del Universo con la Teoría de la Relatividad.

La Ecuación de Einstein da cumplimiento a la visión de Gauss: la geometría desvelada por los griegos en su tiempo es la estructura infinitesimal del universo (como hemos dicho antes, en una parte muy pequeña del espacio) que, generalizada, tiene curvatura.

AUTOR: Javier Gómez López

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1 Response

  1. Me ha gustado mucho este artículo, tanto por lo oportuno que resulta hablar de las geometrías no Euclídeas utilizadas por Einstein para poder explicar la estructura de su recién “inventado” espacio-tiempo, como por lo bien explicado que está.
    Y aún por encima de esto me ha gustado la sorpresa que me he llevado al buscar las referencias de su autor y encontrarme que es un jovencísimo estudiante. Explicar un tema tan complicado como este y tener el valor de escribirlo y exponerlo a la consideración de todo el mundo implica dos cosas: Haber estudiado mucho y tener seguridad en sí mismo. Ambos factores esenciales para el triunfo en la vida. Mi más cordial felicitación y deseo de que sigas por este camino.

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