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10 may 2018

EL SANTO GRIAL DE LAS MATEMÁTICAS

Los números primos juegan un papel fundamental en nuestra vida cotidiana, de hecho, son fundamentales en áreas como la criptografía para conseguir el cifrado de mensajes. Uno de los métodos más empleados en el cifrado de mensajes es el conocido como método RSA (en honor a sus creadores Ron Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman del MIT), este método también conocido como asimétrico o de clave pública se basa en la dificultad de factorizar números grandes.

El funcionamiento del método RSA es sencillo: un mensaje se puede transformar en una serie de cifras utilizando el producto de dos números primos (generalmente con una gran cantidad de dígitos para que no sea fácil descubrirlos) de forma tal que si alguien ajeno al cifrado quiere saber el contenido del mensaje tendrá que factorizar un número muy grande. Por tanto el secreto para descifrar mensajes está en la factorización de números (igual que la que aprendemos en el colegio).

Cifrado de mensajes

Tarjeta de crédito: Fuente Pixabay

Pensemos por un momento que queremos descifrar un mensaje, nuestro problema se reducirá a factorizar un número con bastantes dígitos.  Hasta aquí no parece complicado pero pongamos algunos ejemplos:

Si queremos factorizar un número de dos dígitos, por ejemplo el 57, tendremos que ir probando por los primos menores que él (en realidad menores o iguales que su raíz cuadrada)  para ver si es divisible (para los primeros números primos incluso podemos tener sus criterios de divisibilidad).  Consideremos ahora el número 27 172 667, bastante más grande que el anterior. Al intentar factorizarlo comenzamos a probar por los primeros números primos 2,3,5,7,11,13,17, …  y no es divisible por ninguno, entonces ¿cómo obtenemos su factorización? Este número en particular es producto de los dos números primos 4409 y 6163. Como vemos la dificultad para factorizar números radica en nuestro desconocimiento de la distribución de los números primos.

¿Qué ocurriría si conociéramos la distribución de los números primos? En este caso el sistema de cifrado actual carecería de seguridad por lo que la seguridad de los comercios electrónicos y la banca se vería seriamente debilitada. Y no sólo eso sino que un descubrimiento de esta envergadura causaría un serio impacto en la mecánica cuántica y en la teoría del caos.

En este sentido en 1859 el matemático alemán Bernhard Riemann (1826-1866) presentó un problema que está íntimamente relacionado con los números primos.

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) Fuente: Wikipedia

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)
Fuente: Wikipedia

Para presentar el problema vamos a hacer un pequeño recorrido que será imprescindible para valorar el alcance del mismo.

Hasta el siglo XVII, ningún matemático había sido capaz de arrojar luz sobre el patrón de comportamiento de los números primos hasta que en 1737 el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) fue capaz de relacionar los números naturales con los primos mediante una elegante expresión:

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}=\prod_p(1-\frac{1}{p^s})^{-1}

para cualquier número real s mayor que 1, representando p a un número primo.

Euler llegó a este resultado utilizando su destreza innata para trabajar con números.

A la expresión \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} se le llama función zeta (\zeta es la letra zeta en griego).

En 1798 el matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1865) y el matemático francés Adrien-Marie Legendre (1752-1833) conjeturaron de manera independiente que si denotamos por \pi(x) al número de primos menores o iguales que un número x cualquiera, entonces:

lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\pi(x)}{\frac{x}{logx}}=1

Es decir que el número de primos menores o iguales que una cantidad x dada es asintóticamente equivalente a  \frac{x}{logx}.

Gauss además calculó los dos factores \pi(x) y \frac{x}{log x} para valores de x comprendidos entre 1 y 3000 (imaginad cómo serían esos cálculos sin los avances tecnológicos que existen en la actualidad).

Este resultado fue demostrado de forma independiente por los matemáticos Hadamdrd (1865-1963) y Vallée Poussin (1866-1962) en 1896.

Fueron muchos los matemáticos que abordaron el estudio de la distribución de los números primos, algunos de ellos bastante famosos  como Dirichtlet y Chebyschev.

En 1859 el matemático alemán Riemann presentó una memoria de tan sólo 8 páginas para su ingreso en la Academia de las Ciencias de Berlín en las que daría el pistoletazo de salida a lo que actualmente se conoce como la hipótesis de Riemann.

La idea de Riemann consistió en conectar la función \pi(x) ya mencionada anteriormente con la función \zeta con la que Euler ya había trabajado anteriormente:

\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}

Riemann consideró a esta función como una función de variable compleja, dando así un considerable salto en el estudio de esta función.

De hecho de la identidad de Euler, realizando una serie de transformaciones se llega a:

\sum_{n=1}^\infty \frac{\Delta(n)}{n^s}=-\frac{\zeta' (s)}{\zeta (s)}

Donde:

\Delta(n)=\left\{  \begin{array}{cc}  log p &  n=p^k, p primo\\  0& Otro caso \\  \end{array}  \right.

(Esta función se denomina función de Mangoldt)

Riemann consideró la función:

\psi (x)=\sum_{n\leq x} \Delta (n)

Y demostró que \psi(x)\sim x (esta función fue introducida por Chebyschev en 1850).

Riemann intentó obtener información de esta función a partir de las propiedades de la función zeta.

La función zeta actualmente se conoce como función zeta de Riemann y se ha demostrado que sus ceros no triviales se localizan en una franja denominada crítica, que comprende los valores 0\leq Re(x)\leq 1.

Como hemos visto la función zeta de Riemann está fuertemente ligada a la distribución de los números primos, la localización de sus ceros es fundamental para descubrir esta distribución.

Riemann conjeturó que los ceros no triviales de la función zeta de Riemann cumplen Re(s)=\frac{1}{2}.

Esta conjetura es conocida como la conjetura de Riemann y actualmente es considerado el santo Grial de la matemática. El Instituto Clay en el año 2000 enumeró los siete problemas del milenio. Estos problemas fueron escogidos por su importancia para el desarrollo de las matemáticas. La conjetura de Riemann corresponde a uno de estos siete problemas del milenio y su resolución está recompensada con un millón de dólares por este conocido instituto. Puedes ver su planteamiento en el siguiente enlace.

Actualmente sólo uno de los siete problemas del milenio está resuelto. Hablamos de la conjetura de Poincaré resuelta por el matemático ruso Grigori Perelman (1966-), a quien le fue otorgada la medalla field de las matemáticas (el mayor reconocimiento a un matemático) en 2006 pero declinó tanto la medalla como la dotación económica por haber resuelto uno de los problemas del milenio.

El alcance de este problema ya fue puesto de manifiesto por David Hilbert (1862-1943) en su ya famosa lista de 23 problemas que presentó en el congreso Internacional de Matemáticos de París en el año 1900.

Actualmente existe una gran cantidad de matemáticos intentando resolver la conjetura de Riemann, y de forma periódica las revistas matemáticas reciben una demostración de esta conjetura que deben revisar antes de publicar. Sin embargo hasta la fecha no existe ninguna demostración válida de este problema por lo que aún sigue siendo todo un misterio.

 AUTOR: FRANCISCO MORANTE QUIRANTES @fdetsocial

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