ENTRADAS

6 may 2016

Seguimos explicando mal la continuidad de funciones

¿Explicamos de forma correcta el concepto de continuidad de funciones?

En un lenguaje coloquial entendemos por continuidad algo que tiene la cualidad de no ser interrumpido. Por ejemplo, si lanzamos una pelota hacia arriba, su trayectoria sigue una curva continua ya que no se interrumpe. En muchos textos de matemáticas a nivel de secundaria o bachillerato se dice que “una función es continua si puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel”, pero ¿es esto correcto?

Continuidad: Gráfica de una función continua

Continuidad de funciones: Gráfica de una función continua

Pensemos en la función f(x)=\frac{1}{x}. Esta función es continua en todo su dominio, es decir, en \mathbb{R}-\{0\}, pero no podemos trazar su gráfica sin levantar el lápiz del papel.

Continuidad: Gráfica de la función 1/x

Continuidad de funciones

En general cualquier función que consideremos cuyo dominio esté formado por dos o más intervalos disjuntos no cumple esta condición sobre la gráfica.  Siendo un poco más concretos podemos pensar que la gráfica si se puede representar sin levantar el lápiz del papel en cada uno de los dos intervalos disjuntos que forma el dominio.

Pensemos a continuación en la función:

f(x)=\left\{  \begin{array}{ccc}  x^2-4 & si & x\in\mathbb{Q} \\  0 & si & x\not\in \mathbb{Q} \\  \end{array}  \right.

Es fácil comprobar que esta función únicamente es continua en dos puntos, más concretamente en x=-2 y en x=2, por la densidad de  los números racionales y de los irracionales, sin embargo en este caso nada de esto podemos afirmar sobre su gráfica, aun siendo continua como vemos en dos puntos.

La afirmación sobre su gráfica se realiza en los libros de texto cuando se habla de continuidad global de una función, pero si analizamos la definición global de continuidad esta sería:

Dada una función f:D\rightarrow \mathbb{R}, entonces se dice que f es continua en D, si f^{-1}(A) es abierto, para cualquier abierto A\subset\mathbb{R}.

En el bachillerato se estudian funciones reales de variable real considerando sobre el conjunto de los números reales la topología usual, es decir,

T=\{(a,b): a,b\in\mathbb{R}, a<b\}\cup\{\emptyset,\mathbb{R}\}

Pero, ¿qué ocurre si cambiamos de topología?

Consideramos una función cualquiera f:D\rightarrow\mathbb{R} con D un subconjunto de los números reales, y consideramos sobre \mathbb{R} la topología definida por:

T=\{A: A\subset\mathbb{R}\}

Es fácil probar que T así definida es una topología, de hecho a esta topología se la denomina topología discreta. Pues bien, si consideramos esta topología sobre el conjunto de los números reales, la función anterior f es continua. Es decir, esta topología tiene la particularidad de que cualquier función definida sobre el conjunto de los números reales es continua en esta topología.

Por tanto en este caso, al cambiar la topología con la que trabajamos, es decir al cambiar las gafas con las que miramos a las funciones, es evidente que no se cumple que en una función continua podamos trazar su gráfica de un solo trazo.

Pensemos a continuación en la definición local de continuidad que se da en muchos libros de texto. Tras realizarla se indica que  una función tiene una discontinuidad evitable en un punto x=a, si o bien no existe el valor de f en x=a, o bien su valor no coincide con el valor del límite de la función en dicho punto. En este punto se comete otra irregularidad, ya que no tiene sentido de hablar de que una función es discontinua en un punto donde no está definida.

Pero si atendemos a la definición de continuidad de una función en un punto tenemos dos definiciones equivalentes.

Definición 1:

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x_0 si cumple:

\forall \epsilon >0, \exists \delta >0: |x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon

Definición 2:

Una función f:D\rightarrow \mathbb{R}, $D\subset \mathbb{R}$ se dice que es continua en x_0\in Dsi cumple:

\forall \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset D con \{a_n\}\rightarrow x_0\Rightarrow \{f(x_n)\}\rightarrow f(x_0)

Como observamos no podemos estudiar la continuidad de una función en un punto  que no esté en el dominio de definición de la función.

El concepto de continuidad es un concepto sencillo a priori, pero que debe ser estudiado con rigor, para que no lleve a confusión sobre todo en estudios posteriores, ya que es habitual que el alumnado que llega a los primeros cursos universitarios llegue con estas nociones erróneas de continuidad, que hacen que tengan una visión distorsionada del concepto que se está estudiando.

AUTOR: FRANCISCO MORANTE QUIRANTES

Más entradas del autor para FdeT

Si quieres participar en el blog como colaborador en alguna de las secciones, envíanos un mail a info@fdet.es 

Grupo FdeT

2 Responses

Leave a Reply

A %d blogueros les gusta esto: