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9 ago 2017

SISTEMAS DE NUMERACIÓN, ¿POR QUÉ HAY MÁS DE UNO?

¿Más importante contar que escribir?

Desde que el ser humano comenzara a cuantificar su entorno se hizo necesario establecer un método que permitiese referenciar las unidades con respecto a un patrón de medida que habría de ser común para quienes interactuaran. Conocer el número de cabezas de ganado, el volumen de vino producido, la extensión de una parcela, la cantidad de frutos recolectada o el tiempo que tardaba un fruto en madurar… Era más imperioso, si cabe, contar que escribir.

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Dicen los especialistas que el ser humano es capaz de reconocer, sin haber recibido un aprendizaje previo, hasta 4 elementos pero a partir de ahí un método de conteo se hace imprescindible. El conocimiento del propio cuerpo sirvió para crear un grupo de patrones iniciales con los que comparar la magnitud a contar pero recoger la medida era otro cantar bien distinto. Cómo recordar el número de ovejas o el peso de la carne o saber si se incurre en pérdidas en una transacción comercial requería de una notación matemática para la que nuestro cerebro, por cierto, tiene aptitudes innatas. No bastaba con hacer grupos de líneas verticales y horizontales, marcas en tablillas o troncos o agrupar cantos rodados cuando se trataba de grandes cifras. Las distintas civilizaciones crearon sistemas de numeración acordes a su nivel de desarrollo creando así sistemas de carácter aditivo, multiplicativo, híbridos y los utilísimos posicionales.

SISTEMA ADITIVO

Este sistema consistía en la acumulación de cifras hasta alcanzar el valor deseado pero, al basarse en símbolos y pictogramas, se podían colocar en el orden y posición que se antojara, sin establecerse unas prioridades. Tal es el clásico sistema egipcio, sumerio, azteca, griego o romano entre otros (permítaseme un inciso para precisar que en muchas civilizaciones coexistieron distintos sistemas de numeración que presentaban desde ligeras diferencias a drásticos cambios en la filosofía de cálculo) . Nótese que, por ejemplo en el sistema de numeración romano, la modularidad del sistema emplea la X, nuestro número 10, como base de operación, evidentemente, por comparación con el sistema de conteo manual donde se emplean los diez dedos de las manos. Esto no ha de resultarnos extraño dado que otras civilizaciones han empleado multiplicadores similares, como los mayas o los aztecas que contaban en grupos de 20 (dedos de pies y manos) y ha trascendido hasta nuestros días (en francés 80 se lee quatre-vingts o cuatro veces veinte como vestigio de aquel sistema vigesimal).

SISTEMA MULTIPLICATIVO

En el multiplicativo  el valor absoluto del número se obtiene por la multiplicación sucesiva de cada cifra componente por uno o varios valores dados. Así, si se desease calcular el número 300 bastaría con colocar 5 veces un lote de 60 unidades (la base preferida por los sumerios en sus tratados de escritura cuneiforme). Nótese que este sistema no puede extenderse de manera general en forma pura ya que no podrían representarse los números primos que sólo son múltiplos de sí mismos y de la unidad por lo que habría de efectuarse la suma de los productos obtenidos para alcanzar el valor final del número objetivo al estilo híbrido que veremos en seguida. Esto números primos extienden su propiedad trascendente al resto de bases numéricas.

SISTEMA HÍBRIDO

En el híbrido bastaba incorporar ambos sistemas prescindiendo del cero ya que no era necesario. El número 305 era fácilmente reproducible agrupando 5 lotes de 60 (multiplicativo) y adicionando 5 unidades.

Los chinos, allá por el 1500 a.C. ya empleaban un sistema decimal que identificaba cifras con  ideogramas exentos del cero (es decir, no tenían cifras 0-9 sino cifras 1-10 y sus multiplicadores) pero contaban con el inconveniente de la posición. Una cifra  leída en un orden incorrecto daría al traste con todo el método por lo que el lector había de conocer el método de notación empleado por el autor. Pero el potencial matemático de los chinos se vio influenciado por los árabes quienes, a su vez, bebieron de los conocimientos hindúes, los auténticos líderes del conteo. Hacia el siglo VIII introdujeron el valor cero que, aunque había aparecido en manuscritos y papiros de algunos textos griegos, babilónicos y egipcios en concepto de ausencia de cantidad, no se habían hecho populares al no haberles proporcionado el valor decuplicador que le hace tan necesario en los sistemas posicionales y apenas sirvió para imponerse como un sistema definitivo.

SISTEMAS POSICIONALES

Los sistemas posicionales resultaron ser mucho más eficientes a la hora de recoger cifras elevadas ya que la posición del número iba asociada a un multiplicador definido por la base (que asociaremos a la mínima cantidad de símbolos necesarios para representar cualquier número en dicho sistema). Algunos códices recogen sistemas posicionales que no prosperaron por carecer de símbolos unívocos para cada número de tal forma que la repetición de la unidad o la decena servía para alcanzar la cifra deseada (recuérdese cómo la “I” el palo de origen etrusco servía para representar en los números romanos por duplicación desde el 1 hasta el 3, incluso llegó en los primeros instantes a emplearse para formar las 10 primeras cifras). Si quisiéramos representar en un sistema posicional la cifra 347 bastaría con asignar al 7 las unidades, al 4 las decenas y al 3 las centenas, esto ya lo sabían los hindúes desde hace más de 2200 años pero, ¿y si habláramos del 307? Ahora se hace imprescindible hablar de “la nada” porque carecemos de decenas y no basta con no escribirlas pues al ser posicional el 3_7 podría identificarse con el 37 y alterar el valor de la cifra. Aquí es donde interviene la genialidad de algún matemático hindú  que crea un guarismo para la ausencia de cantidad, el cero que hoy conocemos.

Escoger la base adecuada para un sistema permite optimizar el trabajo con sus cifras y ello acortará los procesos de cálculo que se realicen. Para la mayoría de las aplicaciones ordinarias, el sistema decimal (0 a 9) es suficiente y ya estamos acostumbrados a desarrollar complejas operaciones con sus guarismos. Sin embargo resulta poco práctico para trabajar con entes tecnológicos que trabajan con dos cifras o bits, 0 y 1. En este sistema los pesos son 1, 2, 4, 8, 16, 32,…, que se corresponden con las potencias 0, 1, 2, 3…, de 2 (identificador de la base). Los pesos fraccionarios corresponden a las potencias -1, -2, -3, -4…, en la misma base 2 (obteniéndose 1/2, 1/4, 1/8 …)

El sistema octal y hexadecimal por su parte resultan extraordinariamente prácticos para el tratamiento de la información digital en la que suelen emplearse números de ocho y dieciséis elementos binarios respectivamente. El primero emplea una base de 8 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) y es empleado en el trabajo de computación empaquetando grupos de 8 bits en lo que se conoce como bytes de información que es una unidad estándar en el almacenamiento de datos y en el tráfico de Internet aunque, con el avance de la tecnología, con múltiplos cada vez mayores:

Kilobyte = X 1000 bytes

Megabyte = X 1000 000 bytes

Gigabyte = X 1000 000 000 bytes

Terabyte = X 1000 000 000 000 bytes

Petabyte = X 1000 000 000 000 000 bytes

Exabyte = X 1000 000 000 000 000 000 bytes

Zattabyte = X 1000 000 000 000 000 000 000 bytes

Yottabyte = X 1000 000 000 000 000 000 000 000 bytes

La base hexadecimal cuenta con 16 cifras, 10 de ellos decimales y 6 literales (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F). Es muy usado en el campo de los microprocesadores. Si pretendemos programar uno de estos dispositivos podríamos hacer uso del lenguaje C para crear un código que le dará órdenes a nuestro circuito programable integrado. Al compilar el algoritmo se generará un archivo de extensión .hex que corresponde al sistema hexadecimal. Pero no es exclusivo de la programación el uso de este sistema de numeración. Si usamos algún programa de edición fotográfica, o tenemos una tejedora CNC o, simplemente, vamos a la tienda a comprar una referencia de pintura, encontraremos el código RGB (red, green, blue)  cuyos valores se identifican con una terna de números hexadecimales con el formato fraccionado #RRGGBB siendo RR el código de rojo, el GG el de color verde y el BB el del azul. La gama oscila desde un valor 00 (nulo) hasta el 255 decimal que se corresponde con el FF hexadecimal. Cuanto más intenso es el color pretendido, mayor será su número representativo y mayor peso acabará teniendo en la mezcla.

Sistemas de numeración

Selector de color RGB – hexadecimal

Y después de lo dicho parece que cualquiera pudiera inventarse un sistema de numeración. Pues sí, en efecto.

Pongamos que queremos inventar nuestro propio y personal sistema de numeración. Comenzaremos escogiendo la base en la que queremos trabajar evitando las tradicionales así que escogeremos, por ejemplo, la base 5. Ahora toca saber cuáles serán los números asociados a nuestro sistema (0, 1, 2, 3, 4). Y fíjate que ya tenemos lo más difícil hecho. Ahora, podremos obtener cualquier número con tan sólo multiplicar las unidades por las distintas potencias de 5. Si, por ejemplo tuviéramos el número 321 en base decimal, podríamos convertirlo a base 5 con tan sólo evaluar los restos de dividir sucesivas veces el número decimal entre la base hasta no poder seguir dividiendo.

sistemas de numeración

Transformando parte entera decimal a base 5

Esto resulta el número 2241_{|5}

Y no sólo eso, podríamos haber inventado nuestros propios guarismos para cada uno de los números asociados a nuestra base numérica. Si, por ejemplo, usáramos una bola de color para cada uno tendríamos:

Sistemas de numeración

Creando nuestros guarismos. Sistemas de numeración

¿Y si tuviera decimales?

Vamos a ello.

Partamos del número decimal  321,583 y, dado que ya tenemos cómo se realiza la parte entera, centrémonos ahora en la fraccionaria. Para obtener una precisión de 4 cifras multiplicaremos por la base la parte decimal hasta en 4 ocasiones reservando la parte entera en cada paso. Hay que poner atención al sentido de lectura pues se invierte con respecto al anterior de la parte entera.

Sistemas de numeración

Obteniendo la parte fraccionaria en base 5 de un número en base decimal

Esto resulta el número 0,2434_{|5}

Y siguiendo con nuestros coloridos guarismos

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Autor: JAVIER LUQUE  @fdetsocial

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Bibliografía.

  • Masini giancarlo.- El romance de los números, historia ilustrada de las matemáticas
  • Casado santiago.- Los sistemas de numeración a lo largo de la historia
  • Renno m. Samer .- Contributions to civilizations, the origin of the numeral system
  • Carrillo z. Ricardo .- Historia de los números, matemática on-line
  • Ribnikov, k, Historia de las matemáticas.
  • Georges Ifrah. The Universal History of Numbers 

Imágenes:

  • Elaboración propia
  • https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2b/Seven_segment_display-animated.gif
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