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8 sep 2018

Sudoku, ¿un pasatiempo moderno?

En la actualidad el uso de los sudokus como entretenimiento está muy extendido. Es muy habitual encontrarnos a personas realizando un sudoku en prácticamente todos los lugares, desde una playa o piscina en verano, hasta en la sala de espera de un médico.

Su popularidad es tal que la mayoría de los periódicos, ya sean de tirada nacional, regional o local publican diariamente uno como pasatiempo para sus lectores.

Sin embargo ¿Cómo surge este conocido pasatiempo?

Aunque este tipo de pasatiempos, como veremos más adelante son muy antiguos, fue en 1979 cuando el arquitecto Howard Garns publicó en la revista “Dell Pencil Puzzles and Word Games” el primero de ellos bajo el nombre de “Number place”.

Este pasatiempo alcanzó cinco años después su popularidad ya con el nombre con el que lo conocemos actualmente “sudoku” (o número sencillo en la traducción) cuando la revista japonesa “Nikoli” lo publicó y registró dicho nombre.

Todo cambió para este antiguo juego a partir de ese momento, ya que se crearon cientos de adaptaciones del juego e incluso software que permitía crear juegos con distintos niveles de dificultad permitiendo que la popularidad de estos pasatiempos creciera de forma exponencial.

Como hemos mencionado anteriormente no se sabe muy bien el origen de los sudokus pero se asocia con los cuadrados mágicos.

Un cuadrado mágico es una tabla donde se disponen de números enteros ordenados por filas y columnas de tal forma que la suma de las filas, columnas y diagonales principales sea la misma. Tradicionalmente se solían utilizar los números naturales consecutivos 1,2,…,n, si el cuadrado tiene lado n.

Los cuadrados mágicos tienen las siguientes características:

  • No se pueden repetir los números en el tablero.
  • Debe coincidir la suma de todos los números que estén en la misma fila, misma columna e incluso los números de la misma diagonal principal. Este valor se denomina constante mágica.

Los cuadrados mágicos se conocen desde la antigüedad. En la antigua China se les dotaba de un poder mágico. Existe una leyenda, según la cual, en el año 2200 a.C, unas grandes inundaciones asolaron una región de China. Los pobladores en su intento de apaciguar la cólera del río ofrecieron sacrificios, pero las aguas no se calmaron. El emperador Shu observó que una tortuga llevaba en su concha un cuadrado  de tres filas y tres columnas, con números en su interior. Estos números sumaban 15 tanto por fila, columna como sus diagonales principales.

Los chinos dieron a este hecho un carácter místico, dando así un poder especial a este tipo de cuadrados.

Cuadrado mágico de la leyenda de Shu. Fuente: Wikipedia

Cuadrado mágico de la leyenda de Shu. Fuente: Wikipedia

A partir de ese momento el uso del cuadrado mágico se extendió y se piensa que fueron introducidos en Europa por el gramático bizantino Moschopoulos sobre el siglo XII-XIII.

Desde entonces los cuadrados mágicos han fascinado a matemáticos de todas las épocas. No en vano matemáticos de la talla de Fermat, Pascal, Stieffel pasando por el propio Leonhard Euler han estudiado este tipo de cuadrados.

Tras aparecer el concepto de cuadrado mágico, aparece posteriormente el concepto de cuadrado latino en el siglo XIII como un cuadrado dividido por filas y columnas en el que cada fila y cada columna tienen el mismo conjunto de símbolos.

Ejemplo de cuadrado latino de orden 6

Ejemplo de cuadrado latino de orden 6

Este cuadrado se denomina latino debido a que Leonhard Euler (1707-1783) en sus obras “De quadratis magicis” y “Recherches sur une nouvelle espece des carrés magiques” en 1776 y 1782 respectivamente, utilizó letras latinas para ocupar las celdas en su estudio. En estas obras Euler  dio un procedimiento para su construcción cuando el número de celdas es 9, 16, 25 y 36.

Un cuadrado latino es un cuadrado dividido en n filas y n columnas. En cada celda se introduce una letra latina, de forma que en cada fila y en cada columna aparece cada letra exactamente una vez.

Si observamos es muy similar al sudoku.

Más adelante se añadieron en las celdas un par de letras, una griega y una latina, pasando a llamarse el cuadrado, cuadrado greco-latino.

Cuadrado greco-latino

Cuadrado greco-latino

En general un cuadrado greco-latino, cuadrado de Euler o cuadrado latino ortogonal de orden n, es un cuadrado dispuesto en n filas y n columnas donde en cada celdas se introducen un par de elementos ordenados de la forma (s,t) donde s pertenece a un conjunto S, y t a un conjunto T. (En su origen S={A,B,C,…} son las n primeras letras mayúsculas del alfabeto latino, T=\{\alpha, \beta,\gamma,\cdots\}  las n primeras letras minúsculas del alfabeto el griego), de forma que cada elemento de S y cada elemento de T aparezca exactamente una vez en cada fila y columna y no haya dos celdas conteniendo el mismo par ordenado.

Como hemos mencionado los cuadrados greco latinos o cuadrados latinos ortogonales fueron estudiados en profundidad por Leonhard Euler. Euler encontró métodos para construir cuadrados greco latinos, sin embargo observó que era incapaz de construir cuadrados de orden 2 ni de orden 6, por lo que conjeturó que no existen cuadrados grecolatinos para ningún n\equiv 2 mod 4 , es decir ningún número par que no sea múltiplo de 4.

En su estudio sobre los cuadrados greco latinos, Euler propuso un problema conocido como el problema de los treinta y seis oficiales, el cual se plantea si es posible colocar treinta y seis oficiales de seis regimientos diferentes y de cada uno de los seis grados (por regimiento) en un cuadrado 6×6 de forma que no coincidan dos oficiales del mismo rango o del mismo regimiento en ninguna fila ni columna.

Euler probó que se podía construir este tipo de cuadrado siempre que el lado del cuadrado fuese impar o múltiplo de cuatro, pero aquí volvía a aparecer la conjetura de Euler,  ya que este tipo de cuadrados forma un cuadrado greco latino, y como él había conjeturado, era imposible construirlos para lados de orden n, que fuese par y no múltiplo de 2.

Hubo que esperar hasta 1901 cuando el matemático francés Gaston Tarry (1843-1913) demostró que era imposible construir cuadrados greco latinos de orden 2 y 6. Sin embargo no llegó a demostrar la conjetura de Euler.

En el año 1959 R.C. Bose y S.S. Shrikhande construyeron ejemplos de cuadrados latinos de orden 22, acabando así con la conjetura de Euler ya éste había postulado que era imposible construirlos como vimos anterioremnte.

En 1960 Parker, Bose y Shrikhande demostraron la falsedad de la conjetura de Euler para todo número natural mayor o igual que diez.

Los pasatiempos siempre han interesado a matemáticos de todos los tiempos, y ya sean sudokus, cuadrados mágicos, latinos o grecolatinos, han estado presente en las culturas de todas las épocas. Desde que el periódico “Times” decidió darle una oportunidad y comenzó el 12 de noviembre de 2004 a publicar un sudoku para entretener a sus lectores, su popularidad no ha disminuido. En 2005 este pasatiempos se publicaba de forma regular en muchos periódicos del Reino Unido incluidos “Daily Telegraph”, “The Guardian” o “The Daily Mirror”.

Actualmente goza de gran popularidad, publicándose en la mayoría de periódicos de todo el planeta, así como en revistas. También existe una gran cantidad de software que permite crear estos pasatiempos.

AUTOR: FRANCISCO MORANTE QUIRANTES @fdetsocial

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