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¿Por qué explicamos mal el concepto de derivabilidad?

El concepto de derivada de una función y sus propiedades se estudian con bastante amplitud en primer curso de bachillerato tanto en la materia de matemáticas I como en matemáticas aplicadas a las ciencias sociales. Por increíble que pueda parecer a estas alturas, la forma en que estudiamos (o explicamos) la derivabilidad de una función (incluso, si seguimos libros de texto) puede ser errónea  pero, vayamos por partes.

La derivada de una función en un punto se puede interpretar como la pendiente de la curva en dicho punto, esto es, como la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto.

Recta que pasa por los puntos (a,f(a)), (x,f(x))

Recta que pasa por los puntos (a,f(a)), (x,f(x))

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