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28 Jun 2015

ULTIMO TEOREMA DE FERMAT. UN PROBLEMA QUE HA DURADO ¡3 SIGLOS!

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Un enigma que ha durado tres siglos

La Teoría de números es la parte de la Matemática que trata de los números enteros y de sus propiedades. Se trata de una de las partes más antiguas de las matemáticas y ha tenido un papel esencial en los avances matemáticos de los últimos siglos.
En el siglo XVII aparece la figura de Pierre Fermat (1601-1665). Fermat es apodado el príncipe de los aficionados, puesto que en realidad no fue matemático sino que estudió Derecho en la ciudad de Toulouse y ejerció de juez durante el reinado de Luis XIV.

Pierre Fermat

ULTIMO TEOREMA DE FERMAT. PIERRE FERMAT

¿Por qué, entonces, ha tenido tanta repercusión el denominado último teorema de Fermat?

En 1637 Fermat escribió una nota en latín al margen de un ejemplar de la edición de 1621 de Diofanto de Alejandría en la cual decía que «Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostración maravillosa pero no me cabe en un margen tan estrecho»


Fermat afirmaba por tanto que no es posible encontrar tres números x, y, z que cumplan

x^n+y^n=z^n    n\geq 3.

Sin embargo Fermat no daba una demostración de este hecho. Parece por el comentario que hace que esta afirmación es sencilla de demostrar, pero nada más lejos de la realidad. Este enigma ha mantenido en vilo a la comunidad matemática durante nada más y nada menos que 350 años, convirtiéndose en este tiempo en uno de los problemas matemáticos no resueltos más famosos del mundo.
Este Teorema tiene también una dudoso honor ya que es el Teorema con el mayor número de demostraciones erróneas publicadas.

Pensemos en que ocurre para el caso n=2. ¿Es posible encontrar soluciones a la ecuación x^2+y^2=z^2? Es evidente que la respuesta es afirmativa, ya que esta igualdad nos representa la igualdad que nos da el Teorema de Pitágoras, siendo x e y las medidas de los dos catetos de un triángulo rectángulo y z la medida de la hipotenusa.
Los números que cumplen esta igualdad se conocen como ternas pitagóricas.

Vamos a dar en este artículo una solución a la ecuación x^2+y^2=z^2.
En primer lugar si queremos resolver esta ecuación debemos observar que si (x,y,z) es una solución, entonces para cualquier número entero k, (kx,ky,kz) también es solución.
Por tanto podemos centrarnos en buscar las soluciones de la ecuación que cumplen que mcd(x,y,z)=1.

Supongamos por tanto que mcd(x,y,z)=1.
Obsérvese que x e y deben tener distinta paridad, es decir, no pueden ser los dos pares simultáneamente, ni los dos impares simultáneamente. Esto es evidente ya que imaginemos que ambos fueran pares, entonces existirán números enteros a,b tales que:
x=2a, y=2b
Al ser (x,y,z) solución de la ecuación x^2+y^2=z^2 tenemos que (2a)^2+(2b)^2=z^2, y en consecuencia 4a^2+4b^2=z^2 de donde deducimos que 4 divide a z, es decir que z es par. Pero esto está en contradicción con el hecho de que mcd(x,y,z)=1.
De igual forma ocurre si ambos son impares, en este caso existirán a,b números enteros tales que
x=2a+1,y=2b+1.

En tal caso tenemos que:

z^2=x^2+y^2=(2a+1)^2+(2b+1)^2=4a^2+4a+1+4b^2+4b+1=4(a^2+a+b^2+b)+2

Es decir z=4k+2 para un cierto número entero k, pero esto es imposible, ya que

  • Si z es par, entonces z será de la forma z=2p, y su cuadrado será de la forma z^2=4p^2.
  •  Si z es impar, entonces z será de la forma z=2p+1 y su cuadrado será z^2=4p^2+4p+1 es decir es de la forma z^2=4h+1.

No hay pérdida de generalidad en suponer que x es par e y impar. Necesariamente tenemos que z es impar ya que x^2 es par e y^2 impar, y la suma de par e impar es un número impar.
Resolver la ecuación x^2+y^2=z^2 equivale a resolver x^2=z^2-y^2, de donde utilizando las identidades notables llegamos a que:

x^2=(z-y)(z+y)

En consecuencia las diferencias z+y, z-y son pares (ya que x^2 es un número par). Existen por tanto dos números enteros p y q tales que:

z-y=2p , z+y=2q

Usando las igualdades anteriores llegamos a:

x^2=4pq

De donde obtenemos que: (\frac{x}{2})^2=pq

Es evidente que mcd(p,q)=1, ya que si el máximo común divisor fuera d, se tendría que: d|p, d|q. Utilizando las igualdades z-y=2p , z+y=2q, tendríamos que d|(z-y) y d|(z+y), de donde deducimos que d|y, d|z y esto contradice que mcd(x,y,z)=1.

Por lo tanto tenemos que p y q son primos relativos, y su producto pq es un cuadrado. (Recordemos que x es par y por tanto divisible por 2).

Es fácil demostrar que si p y q son primos relativos y su producto es un cuadrado, entonces p y q son cuadrados.
Por lo tanto existen números enteros t y s tales que:

p=t^2, q=s^2

En consecuencia tenemos que:

z-y=2t^2

z+y=2s^2

(\frac{x}{2})^2=s^2t^2

Si realizamos operaciones tenemos que:

z=s^2+t^2

y=s^2-t^2

x=2st

Además tenemos que mcd(s,t)=1 ya que si no fuera 1, p y q no serían primos relativos.
Además es trivial que s y t no pueden tener la misma paridad ya que si la tuvieran, entonces y sería par, lo que iría en contra de la hipótesis de partida.
Finalmente observemos que 2q>2p de donde deducimos que s>t.

Esta demostración nos afirma que si tenemos la ecuación diofántica x^2=y^2+z^2, x,y,z>0, 2|x entonces una solución es de la forma:

x=2st

y=s^2-t^2

z=s^2+t^2

Con s, t números naturales s>t tales que mcd(s,t)=1 y s y t tienen distinta paridad.

Obsérvese que el recíproco es cierto, es decir que las expresiones así encontradas son soluciones de la ecuación diofántica. Esta demostración es evidente ya que basta con sustituir estas expresiones en la ecuación y comprobar que se verifica.

Este resultado es importante ya que nos dice qué forma tienen las soluciones a la ecuación pitagórica. De hecho cualquier solución de esta ecuación es de la forma:

x=2\lambda st

y=\lambda (s^2-t^2)

z=\lambda(s^2+t^2)

Para \lambda entero no nulo.

Si calculamos las primeras ternas pitagóricas son:

S T x=2st  y=s^2-t^2  z=s^2+t^2
2 1 4 3 5
3 2 12 5 13
4 1 8 15 17
4 3 24 7 25
5 2 20 21 29
5 4 40 9 21
6 1 12 35 37
6 3 36 27 45
6 5 60 11

61

 

En el caso de la ecuación x^n+y^n=z^n para n\geq 3, Fermat afirmó que no existía solución, pero su demostración no fue realizada hasta 1993, por el metemático inglés Sir Andrew John Wiles (Cambridge 1953-). Wiles demostró el último teorema de Fermat a partir de la conexión esbozada por Frey y demostrada por Kent Ribet en 1985 utilizando curvas elípticas.
Wiles utilizó una técnica matemática muy moderna y más de 100 páginas para demostrar este resultado. El hecho de que Fermat afirmara en su nota que había encontrado una demostración elegante pero no cabía en el margen del libro y por eso no la incluía ha sido motivo de discusión entre matemáticos acerca de si realmente tenía o no la demostración.
En realidad Fermat llegó a demostrar que la ecuación no tenía solución para n=4, mediante el método de descenso infinito.

Bibliografía

S. Lang Álgebra Editorial Aguilar

Bujalance E. y Otros,Elementos de matemática discreta UNED

Ribenboim, P. Fermat´s last Theorem for amateurs Springer

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