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30 Ene 2019

USANDO MODELOS MATEMÁTICOS PARA CONTROLAR PANDEMIAS

“Y habrá grandes terremotos en muchos lugares. En otras partes, la gente no tendrá nada para comer y muchos sufrirán de enfermedades terribles. En el cielo aparecerán cosas muy extrañas, que los harán temblar de miedo.” Lucas 21:11

Desde el origen de los tiempos el ser humano ha temido a las epidemias ya que éstas amenazaban directamente a la humanidad.  Cuando una enfermedad contagiosa se propaga por el mundo y las personas no tienen inmunidad contra ella pasa a denominarse pandemia.

¿Cómo se propaga una pandemia?, ¿Se puede modelizar su crecimiento?. Estas han sido las grandes preguntas que el ser humano ansía responder para poder controlar el contagio de enfermedades y minimizar así el riesgo para la población.

En este sentido las matemáticas son de gran ayuda puesto que nos sirven para modelizar este tipo de situaciones. Fue precisamente un matemático, Daniel Bernoulli (1700-1782), el primero en investigar este tipo de enfermedades. Bernoulli formuló un modelo epistemológico para la viruela en 1760. El modelo de Bernoulli era un modelo en el que demostraba cómo la vacunación, a base de inoculación de pus en el organismo, era eficaz para gente sana.

Este fue el comienzo de la modelización de las enfermedades contagiosas aunque, realmente,  no fue hasta el siglo XX cuando comienza la modelización tal y como la conocemos actualmente. Fue William Heaton el primero en formular un modelo discreto, concretamente analizó el sarampión. La importancia de su estudio radica en que fue el primero en considerar que la incidencia de una enfermedad está relacionada no solo con la densidad de personas infectadas, sino también con la densidad de personas sanas.

Las matemáticas son fundamentales a la hora de estudiar cómo se propagan las enfermedades y, por lo tanto, pueden ayudarnos a detener el avance de este tipo de enfermedades. Dentro de los modelos matemáticos que se suelen utilizar existen diferencias en función del tipo de enfermedad, así podemos distintos tipos de modelos:

  • Modelos centrados en estados: este tipo de modelos suelen ser utilizados en poblaciones grandes para realizar un estudio analítico de la epidemia. Se considera a los individuos pertenecientes a un estado del modelo como conjunto, en lugar de considerarlos de forma individual.
  • Modelos centrados en individuos: son modelos estocásticos en los que se estudia el comportamiento del individuo.
  • Modelos híbridos: combinan los dos anteriores, es decir son en parte determinísticos y en parte estocásticos.

Volviendo al caso de Bernoulli, ¿cómo un matemático afronta un problema como éste? Bernoulli para abordar el problema se planteó dos principios:

En primer lugar parecía lógico pensar que la probabilidad de que una persona no infectada contrajera la enfermedad es siempre la misma. “… en tanto no se haya tenido la viruela, se corre continuamente el mismo riesgo de tenerla”.

En segundo lugar Bernoulli apreció que el riesgo de morir de viruela cuando se contrae la enfermedad es el mismo en todas las edades.

En aquella época la ausencia de datos empíricos hacía más complejo, si cabe, el intento de modelización de este tipo de enfermedades, por lo que Bernoulli tuvo que adoptar una serie de hipótesis para poder construir los cálculos. Por poner un ejemplo, Bernoulli tomó como hipótesis que una persona sólo podía pasar la viruela una vez en la vida y algunas proporciones como la proporción anual de infectados por viruela y la proporción anual de muerte entre los infectados de viruela. Estas proporciones, son fruto de la propia observación de Bernoulli.

Bernoulli propone que la probabilidad de contraer la enfermedad en un año es 1/8 sea cual sea la edad del individuo (recordemos que había mencionado que el riesgo de contagio no depende de la edad, en una de sus hipótesis). Además consideró que la probabilidad de que un individuo enfermo fallezca en un año a causa de la enfermedad también era de 1/8, es decir, que la probabilidad de que una persona fallezca en un año a causa de la viruela era de 1/64. Estos datos los obtuvo de forma empírica y atribuyó a la casualidad que ambos datos coincidieran.

Si denotamos por s(x) al número de personas que no han tenido la viruela, siendo x la edad, y denotamos por y al número de supervivientes.

Bernoulli después de algunos cálculos llegó a la expresión:

s(x)=\frac{8}{7e^{\frac{x}{8}}+1}y

Utilizando esta expresión, Bernoulli construye una tabla donde relaciona la edad, el número de supervivientes, el número de supervivientes sin viruela y con viruela, los muertos por viruela y muertos por otras enfermedades al año.

Pandemia

Tabla comparativa

La tabla sólo recoge hasta los 24 años, puesto que a partir de esa edad, la probabilidad de sobrevivir a la enfermedad es muy baja.

Estos son los datos de impacto de la enfermedad en la sociedad de aquel momento. El trabajo de Bernoulli consistía en valorar el impacto que podría tener si todos los individuos fueran inoculados al nacer, para valorar si es positivo realizar esta inoculación o no. Bernoulli realizó una tabla de predicción según su propio modelo y obtuvo la siguiente tabla:

Pandemia

Tabla de predicción

En esta tabla se puede ver cuántas personas inoculadas al nacer quedarían vivos de año en año hasta la edad de 25 años.  

Según estos datos Bernoulli concluyó que la vida se alargaría de media unos 3 años si los individuos fueran inoculados al nacer, ya que se disminuiría razonablemente la tasa de mortalidad por esta enfermedad.

Bernoulli en sus memorias concluye: “Todo hombre que no ha tenido la viruela se encuentra en la agobiante necesidad de jugar durante cada año de su vida con otros 63 a cuál debe morir de esta enfermedad, y con otros 7, a cuál debe cogerla, y lleva con él esta triste suerte hasta que coge la enfermedad. ¿No es mejor, suponiendo que la inoculación quita 1 de 473, jugar contra 472 en lugar de contra 63 y no tener que sufrir muerte más que una sola vez, en lugar de que le vuelva cada año de su vida? ¿Un hombre avisado puede titubear sobre la elección? Sin embargo, esta alternativa es exactamente la de esperar la viruela natural o hacerse inocular”

Es evidente que sólo se tiene en cuenta esta enfermedad y que los individuos pueden fallecer por otras enfermedades o accidentes, pero este trabajo de Bernoulli es muy importante por ser pionero en este campo y por dar una aplicación práctica a la matemática dentro del campo de la propagación de enfermedades.

El trabajo de Bernoulli fue publicado por la Academia de Ciencias de París en 1760, aunque el método nunca fue adoptado de forma oficial. A principios del siglo XX resurgió de nuevo la idea de modelizar matemáticamente la propagación de epidemias y fruto de este interés se ha contribuido notablemente a diseñar políticas de salud pública en todo el mundo.

AUTOR: FRANCISCO MORANTE QUIRANTES @fdetsocial

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